Prove que um número primo não pode ser perfeito.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que nenhum número primo pode ser perfeito. O conteúdo aqui envolve a definição de divisor próprio e de número perfeito: um inteiro positivo n é perfeito se a soma de todos os seus divisores próprios (isto é, todos os divisores menores que n) é exatamente igual a n.

Passo 2

Vamos relembrar a definição de número perfeito. Dizemos que n é perfeito se
sumsubstackdmid n d<n d = n
Ou seja, somamos todos os divisores d de n, exceto o próprio n, e verificamos se essa soma dá n.

Passo 3

Agora, seja p um número primo. Os únicos divisores de p são 1 e p. Portanto, o conjunto dos divisores próprios de p é 1. Assim, a soma dos divisores próprios de p vale
sumsubstackdmid p d<p d = 1

Passo 4

Como em todo primo p com p>1 temos 1 neq p, a soma dos divisores próprios de p (que é 1) não pode ser igual a p. Logo, nenhum número primo satisfaz a definição de perfeito.

Resposta

Nenhum número primo é perfeito.

Exercícios de Livros Relacionados