Prove que um número primo não pode ser perfeito.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que nenhum número primo pode ser perfeito. O conteúdo aqui envolve a definição de divisor próprio e de número perfeito: um inteiro positivo
é perfeito se a soma de todos os seus divisores próprios (isto é, todos os divisores menores que
) é exatamente igual a
.
Passo 2
Vamos relembrar a definição de número perfeito. Dizemos que
é perfeito se
Ou seja, somamos todos os divisores
de
, exceto o próprio
, e verificamos se essa soma dá
.
Passo 3
Agora, seja
um número primo. Os únicos divisores de
são
e
. Portanto, o conjunto dos divisores próprios de
é
. Assim, a soma dos divisores próprios de
vale
Passo 4
Como em todo primo
com
temos
, a soma dos divisores próprios de
(que é
) não pode ser igual a
. Logo, nenhum número primo satisfaz a definição de perfeito.
Resposta
Nenhum número primo é perfeito.