Seja ( a, a+1, c ) um terno pitagórico. Se Tk indica o k-ésimo número triangular, isto é, Tk=k(k+1)2, prove que ( T2 a, T2 a+1,(2 a+1) c ) é tambérn um terno pitagórico.

Passo 1

O enunciado diz que (a,a+1,c) é um terno pitagórico, isto é, satisfaz
a^2+(a+1)^2 = c^2
Também definimos o k-ésimo número triangular por
Tk = k(k+1)2
A tarefa é mostrar que
l(T2a,,T2a+1,,(2a+1),cr)
é também um terno pitagórico, ou seja, que
T2a^2 + T2a+1^2 = l((2a+1),cr)^2

Passo 2

Vamos escrever T2a e T2a+1 em função de a.
T2a = 2a,(2a+1)2 = a,(2a+1), T2a+1 = (2a+1),(2a+2)2 = (a+1),(2a+1)

Passo 3

Agora calculamos a soma dos quadrados:
T2a^2 + T2a+1^2 = l(a,(2a+1)r)^2 + l((a+1),(2a+1)r)^2 = (2a+1)^2l(a^2 + (a+1)^2r)

Passo 4

Pela hipótese de que (a,a+1,c) é terno pitagórico temos a^2+(a+1)^2=c^2. Substituindo na expressão acima,
T2a^2 + T2a+1^2 = (2a+1)^2,c^2 = l((2a+1),cr)^2

Resposta

Como mostramos que
T2a^2 + T2a+1^2 = l((2a+1),cr)^2,
segue que l(T2a,,T2a+1,,(2a+1)cr) é de fato um terno pitagórico.

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