Uma reta a é perpendicular a um plano alpha num ponto 0 . Uma reta b de alpha não passa por 0 e uma reta c de alpha passa por 0 e é concorrente com b em R. Demonstre que, se S é um ponto qualquer de alpha e a reta S R é perpendicular à reta b, então b é perpendicular a c. (Recíproca do teorema das três perpendiculares.)

Passo 1

O enunciado fala de um plano alpha e de uma reta a tal que
aperpalphaem O
Dentro de alpha temos duas retas b e c que se cruzam em R, com b não passando por O e c passando por O. Além disso, existe um ponto Sinalpha tal que
SRperp b
Queremos provar que bperp c.
Conteúdo usado: planos perpendiculares e o fato de que, se um plano gamma é perpendicular a outro plano alpha, então toda reta de alpha é perpendicular a gamma.

Passo 2

Defina o plano gamma determinado pelas retas a e SR. Note que
  • asubsetgamma por construção;
  • SRsubsetgamma por construção.
Em particular, Oin asubsetgamma e Rin SRsubsetgamma.

Passo 3

Como aperpalpha em O e asubsetgamma, segue que o plano gamma é perpendicular ao plano alpha. Portanto toda reta de alpha é perpendicular a gamma. Em particular, como bsubsetalpha, temos
bperpgamma

Passo 4

A reta c passa por O e por R, e ambos os pontos já estão em gamma. Assim
csubsetgamma
Como bperpgamma, qualquer reta contida em gamma e que passe por R é perpendicular a b. Em particular, c atende a isso, logo
bperp c

Resposta

b é perpendicular a c.

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