Uma reta a é perpendicular a um plano num ponto 0 . Uma reta de não passa por 0 e uma reta de passa por 0 e é concorrente com em R. Demonstre que, se é um ponto qualquer de e a reta é perpendicular à reta b, então b é perpendicular a c. (Recíproca do teorema das três perpendiculares.)
Passo 1
O enunciado fala de um plano alpha e de uma reta a tal que
aperpalphaem O
Dentro de alpha temos duas retas b e c que se cruzam em R, com b não passando por O e c passando por O. Além disso, existe um ponto Sinalpha tal que
SRperp b
Queremos provar que bperp c.
Conteúdo usado: planos perpendiculares e o fato de que, se um plano gamma é perpendicular a outro plano alpha, então toda reta de alpha é perpendicular a gamma.
Passo 2
Defina o plano gamma determinado pelas retas a e SR. Note que
asubsetgamma por construção;
SRsubsetgamma por construção.
Em particular, Oin asubsetgamma e Rin SRsubsetgamma.
Passo 3
Como aperpalpha em O e asubsetgamma, segue que o plano gamma é perpendicular ao plano alpha. Portanto toda reta de alpha é perpendicular a gamma. Em particular, como bsubsetalpha, temos
bperpgamma
Passo 4
A reta c passa por O e por R, e ambos os pontos já estão em gamma. Assim
csubsetgamma
Como bperpgamma, qualquer reta contida em gamma e que passe por R é perpendicular a b. Em particular, c atende a isso, logo
bperp c
Resposta
b é perpendicular a c.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 73