Prove que as retas de equações (m^2+6 m+3) x-(2 m^2+18 m+2) y-3 m+2=0, em que m é uma variável real, passam pelo mesmo ponto.

Passo 1

O enunciado define uma família de retas, para cada minR, dada por
(m^2+6m+3)x ;-;(2m^2+18m+2)y ;-;3m+2 ;=;0
Queremos mostrar que existe um ponto (x,y) fixo que satisfaz essa equação para todo m.

Passo 2

Para que um ponto (x,y) pertença a todas as retas, a expressão
F(m);=;(m^2+6m+3)x;-;(2m^2+18m+2)y;-;3m+2
deve ser idêntica a zero em função de m. Como F(m) é um polinômio em m, seus coeficientes devem ser nulos.

Passo 3

Vamos expandir e agrupar F(m) por potências de m:
F(m) = x,m^2 +6x,m +3x -2y,m^2 -18y,m -2y -3m +2
F(m) = (x-2y),m^2 ;;+;(6x-18y-3),m ;;+;(3x-2y+2)
Para F(m)equiv0, devemos ter o sistema
x - 2y = 0,[6pt] 6x - 18y - 3 = 0,[6pt] 3x - 2y + 2 = 0 ]

Passo 4

Resolvendo o sistema:
1. Da primeira equação, x=2y.
2. Substituindo em 6x-18y-3=0:
6(2y)-18y-3=0implies 12y-18y-3=0implies -6y=3implies y=-tfrac12
3. Logo x=2l(-tfrac12r)=-1. Verificando na terceira equação:
3(-1)-2l(-tfrac12r)+2=-3+1+2=0,
está confirmado.

Resposta

O ponto comum a todas as retas é l(-1,-tfrac12r).

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