Prove que as retas de equações
, em que
é uma variável real, passam pelo mesmo ponto.
Passo 1
O enunciado define uma família de retas, para cada
, dada por
Queremos mostrar que existe um ponto
fixo que satisfaz essa equação para todo
.
Passo 2
Para que um ponto
pertença a todas as retas, a expressão
deve ser idêntica a zero em função de
. Como
é um polinômio em
, seus coeficientes devem ser nulos.
Passo 3
Vamos expandir e agrupar
por potências de
:
Para
, devemos ter o sistema
Passo 4
Resolvendo o sistema:
1 . Da primeira equação,
x=2y .
2 . Substituindo em
6x-18y-3=0 :
está confirmado.
Resposta
O ponto comum a todas as retas é
l(-1,-tfrac12r) .