Discuta em função de m e p a posição relativa das retas r : m x+y-p=0 e s: 3 x+-7=0.

Solução

Calculemos as raízes de D: D=|lla1 & b1 a2 & b2|=|llm & 1 3 & 3|=3 m-3=0 Rightarrow m=1
É evidente que: m in R, m neq 1 Rightarrow D neq 0 Rightarrow r times s.
Quando D=0, temos:
m=1 Rightarrowlr: x+y-p=0 s: 3 x+3 y-7=0 então l se p=73, r=s se p neq 73, r cap s=varnothing
Resposta: m in R, m neq 1 Rightarrow r times s
m=1 e p=73 Rightarrow r=s
m=1 e p neq 73 Rightarrow r cap s=varnothing

Passo 1

O enunciado dá duas retas
r: m x + y - p = 0
s: 3x + 3y - 7 = 0
e pede para discutir sua posição relativa (concorrentes, paralelas ou coincidentes) em função de m e p. Vamos usar o critério do determinante dos coeficientes para retas no plano.

Passo 2

Escrevendo o sistema formado por r e s, os coeficientes são
a1 & b1 a2 & b2 = m & 1 3 & 3
e o determinante
D = m & 13 & 3 = mcdot 3 - 1cdot 3 = 3(m-1)

Passo 3

Se D neq 0, ou seja, 3(m-1)neq 0iff mneq 1, as retas são concorrentes (cruzam-se em um ponto). Logo,
minR,,mneq1implies r e s são concorrentes.

Passo 4

Se D=0, então m=1 e as retas são paralelas ou coincidentes. Substituindo em r e s:
r: x + y - p = 0, s: 3x + 3y - 7 = 0
Para verificar coincidência, basta ver se uma é múltiplo da outra: multiplicando a equação de r por 3 dá
3x + 3y - 3p = 0
que coincide com s só se -3p = -7, isto é, p=73.
  • Se p=73, as duas equações são idênticas e r=s.
  • Se pneq73, elas são paralelas sem ponto em comum.

Resposta

m inR, mneq1 implies r e s são concorrentes.
m=1 e p=73 implies r=s.
m=1 e pneq73 implies r e s são paralelas sem interseção.

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