Prove que se 2 n+1 e 3 n+1 são quadrados perfeitos, então 5 n+3 não é primo.

Passo 1

Resumindo o enunciado: estamos em busca de inteiros n>0 tais que
2n+1 = a^2, 3n+1 = b^2
para certos inteiros a,b, e queremos provar que nesse caso
5n+3
não pode ser primo. O conteúdo que vamos usar é a resolução de uma equação diofantina do tipo Pell e uma fatoração que mostra que 5n+3 se decompõe em dois fatores inteiros maiores que 1.

Passo 2

Da primeira igualdade temos
n = a^2 -12
Substituindo na segunda igualdade 3n+1=b^2, obtemos
3l(tfraca^2-12r)+1 = b^2 Longrightarrow 3a^2 -3 +2 = 2b^2 Longrightarrow 3a^2 -2b^2 = 1
Essa é uma equação do tipo Pell modificado.

Passo 3

Em função de a, podemos escrever também
5n+3 ;=;5l(tfraca^2-12r)+3 ;=;5a^2 -5 +62 ;=;5a^2 +12

Passo 4

Vamos fatorar 5a^2+1 usando a relação 3a^2 -2b^2=1. Note que
2(2a - b)(2a + b) =2l(4a^2 - b^2r) =8a^2 -2b^2
Mas de 3a^2 -2b^2=1 vem -2b^2 = -3a^2 +1. Logo,
8a^2 -2b^2 = 8a^2 -3a^2 +1 = 5a^2 +1
Portanto
5a^2 +1 = 2(2a - b)(2a + b) Longrightarrow 5n+3 = 5a^2+12 = (2a - b)(2a + b)

Passo 5

Resta verificar que ambos os fatores 2a - b e 2a + b são maiores que 1 sempre que n>0. De fato, para n>0 temos a^2 =2n+1>=3, então a>=2. Além disso, b^2=3n+1>1 implica b>=2. Assim
2a - b ,>=,2cdot2 - b >=4 - b,
e como b^2=3n+1>=4 b>=2, segue 2a-b>=4- b>=2. E claramente 2a+b>=2+2=4>1. Logo ambos os fatores são inteiros >=2, mostrando que 5n+3 é composto.

Resposta

5n+3 não é primo, pois se decompõe como
5n+3 = (2a - b),(2a + b),
com 2a-b>=2 e 2a+b>=4.

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