Prove que se
e
são quadrados perfeitos, então
não é primo.
Passo 1
Resumindo o enunciado: estamos em busca de inteiros
tais que
para certos inteiros
, e queremos provar que nesse caso
não pode ser primo. O conteúdo que vamos usar é a resolução de uma equação diofantina do tipo Pell e uma fatoração que mostra que
se decompõe em dois fatores inteiros maiores que 1.
Passo 2
Da primeira igualdade temos
Substituindo na segunda igualdade
, obtemos
Essa é uma equação do tipo Pell modificado.
Passo 3
Em função de
, podemos escrever também
Passo 4
Vamos fatorar
usando a relação
. Note que
Mas de
vem
. Logo,
Portanto
Passo 5
Resta verificar que ambos os fatores
e
são maiores que 1 sempre que
. De fato, para
temos
, então
. Além disso,
implica
. Assim
e como
dá
, segue
. E claramente
. Logo ambos os fatores são inteiros
, mostrando que
é composto.
Resposta
com
e
.