Prove a seguinte fórmula para a soma dos n primeiros números triangulares, estabelecida pelo matemático indiano Aryabhatta (c. 500 d.C.):
T1+T2+ldots+Tn=n(n+1)(n+2)6
Sugestão: Agrupe o primeiro membro em pares e substitua cada soma Tk-1+Tk por k^2 (considere o caso n par e o caso n ímpar).

Passo 1

O enunciado pede para provar que a soma dos n primeiros números triangulares
T1+T2+cdots+Tn
é dada por
n(n+1)(n+2)6
Aqui Tk=k(k+1)2. A sugestão é agrupar em pares usando a identidade
Tk-1+Tk=k^2,
e tratar separadamente os casos n par e n ímpar.

Passo 2

Mostramos primeiro a identidade de apoio. Para k>=1:
Tk-1+Tk =(k-1)k2+k(k+1)2 =k^2-k + k^2+k2 =2k^22 =k^2

Passo 3

Caso n seja par: escreva n=2m. Então
sumk=1^2mTk =(T1+T2)+(T3+T4)+cdots+(T2m-1+T2m) =sumj=1^m(2j)^2 =4sumj=1^mj^2
Sabemos que
sumj=1^mj^2=m(m+1)(2m+1)6,
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sumk=1^2mTk =4cdotm(m+1)(2m+1)6 =2m(m+1)(2m+1)3
Como m=n/2, substituindo obtemos
2,(n/2)l(n/2+1r)l(n+1r)3 =n(n+2)(n+1)6

Passo 4

Caso n seja ímpar: escreva n=2m+1. Então
sumk=1^2m+1Tk =sumk=1^2mTk+T2m+1 =4sumj=1^mj^2+(2m+1)(2m+2)2
Usando de novo sumj=1^mj^2=tfracm(m+1)(2m+1)6, vem
4cdotm(m+1)(2m+1)6 +(2m+1)(2m+2)2 =2m(m+1)(2m+1)3+(2m+1)(m+1)
Fatorando (2m+1)(m+1):
(2m+1)(m+1)l(2m3+1r) =(2m+1)(m+1)2m+33 =(2m+1)(m+1)(2m+3)3
Como 2m+1=n, m+1=(n+1)/2 e 2m+3=n+2, chega-se a
n,(n+1),(n+2)6

Resposta

T1+T2+cdots+Tn=n(n+1)(n+2)6

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