Prove a seguinte fórmula para a soma dos n primeiros números triangulares, estabelecida pelo matemático indiano Aryabhatta (c. 500 d.C.):
Sugestão: Agrupe o primeiro membro em pares e substitua cada soma
por
(considere o caso n par e o caso n ímpar).
Passo 1
O enunciado pede para provar que a soma dos
primeiros números triangulares
é dada por
Aqui
. A sugestão é agrupar em pares usando a identidade
e tratar separadamente os casos
par e
ímpar.
Passo 2
Mostramos primeiro a identidade de apoio. Para
:
Passo 3
Caso
seja par: escreva
. Então
Sabemos que
logo
Como
, substituindo obtemos
Passo 4
Caso
seja ímpar: escreva
. Então
Usando de novo
, vem
Fatorando
:
Como
,
e
, chega-se a