Prove que o quadrado de qualquer número ímpar, múltiplo de 3 , é a diferença entre dois números triangulares.
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que, se
é ímpar e múltiplo de 3, então
pode ser escrito como diferença de dois números triangulares.
O que vamos precisar é da definição de número triangular e de uma fórmula geral para a diferença
O que vamos precisar é da definição de número triangular e de uma fórmula geral para a diferença
Passo 2
Lembrando que o
-ésimo número triangular é
vamos obter uma expressão para
Usando a definição,
Expandindo e simplificando,
logo
Passo 3
Queremos escolher
e
tais que
A escolha natural é tomar
. Substituindo na fórmula:
Dividindo tudo por
(sabendo que
):
Portanto escolhemos
Passo 4
Como
é ímpar,
e
são, de fato, inteiros.
Em particular, se é múltiplo de 3 e ímpar, ele continua ímpar, então os índices
e
valem números inteiros.
Em particular, se
Passo 5
Bastou então calcular a diferença:
Uma conta direta mostra que isso é
Logo, provamos a identidade desejada.
Resposta
Se
é ímpar (em particular múltiplo de 3), então