Prove que o quadrado de qualquer número ímpar, múltiplo de 3 , é a diferença entre dois números triangulares.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, se n é ímpar e múltiplo de 3, então
n^2
pode ser escrito como diferença de dois números triangulares.
O que vamos precisar é da definição de número triangular e de uma fórmula geral para a diferença
Tm-Tk,

Passo 2

Lembrando que o j-ésimo número triangular é
Tj = j,(j+1)2,
vamos obter uma expressão para
Tk+r - Tk
Usando a definição,
Tk+r - Tk = (k+r)(k+r+1)2 ;-;k(k+1)2 = (k+r)(k+r+1) - k(k+1)2
Expandindo e simplificando,
(k+r)(k+r+1) - k(k+1) = k^2 + (2r+1)k + r(r+1) - (k^2 + k) = 2rk + r(r+1),
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Tk+r - Tk = 2rk + r(r+1)2 = r,k ;+;r(r+1)2

Passo 3

Queremos escolher r e k tais que
Tk+r - Tk ;=; n^2
A escolha natural é tomar r = n. Substituindo na fórmula:
Tk+n - Tk = n,k + n(n+1)2 stackrel!= n^2
Dividindo tudo por n (sabendo que nneq0):
k + n+12 = n Longrightarrow k = n - n+12 = n-12
Portanto escolhemos
k = n-12, r = n, m = k + r = n-12 + n = 3n-12

Passo 4

Como n é ímpar, tfracn-12 e tfrac3n-12 são, de fato, inteiros.
Em particular, se n é múltiplo de 3 e ímpar, ele continua ímpar, então os índices
tfracn-12 e tfrac3n-12 valem números inteiros.

Passo 5

Bastou então calcular a diferença:
T3n-12 - Tn-12 = [3n-12,l(3n-12+1r)2] -[n-12,l(n-12+1r)2]
Uma conta direta mostra que isso é
9n^2 - 18 ;-; n^2 - 18 = 8n^28 = n^2
Logo, provamos a identidade desejada.

Resposta

Se n é ímpar (em particular múltiplo de 3), então
n^2 ;=; T3n-12 ;-; Tn-12

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