Prove as seguintes igualdades:
lim n infty(1+xn)^n=e^x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência l(1 + tfracxnr)^n tende a e^x quando ntoinfty. O conteúdo aqui é limite de sequência exponencial e usaremos propriedades de logaritmo e o limite padrão limuto0ln(1+u)u=1.

Passo 2

Definimos a sequência
an = l(1 + xnr)^n
Para facilitar o cálculo do limite, aplicamos o logaritmo natural e obtemos
bn = ln(an) = n,ln!l(1 + xnr)
Como a função ln é contínua e estritamente crescente, podemos primeiro achar lim bn e depois voltar com a exponenciação.

Passo 3

Para calcular
limntoinfty bn
escrevemos
bn = lnl(1 + xnr)tfrac1n
Ao fazermos ntoinfty, o numerador tende a ln(1)=0 e o denominador a 0, gerando uma forma indeterminada 0/0. Usamos então o limite padrão
limuto0ln(1+u)u=1
Tomando u = tfracxn, que tende a 0, obtemos
limntoinfty bn = limntoinfty x;lnl(1+tfracxnr)tfracxn = x cdot 1 = x

Passo 4

Como limntoinfty bn = x e a exponencial é contínua, segue-se
limntoinfty an = limntoinfty expl(bnr) = exp!l(limntoinfty bnr) = e^x

Resposta

limntoinftyl(1+xnr)^n ;=;e^x

Exercícios de Livros Relacionados