Prove que a soma dos ângulos de todas as faces de um prisma de n faces laterais vale S=(n-1) cdot 8 r, em que r=90^circ.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, num prisma reto com n faces laterais, a soma de todos os ângulos internos de suas faces vale
S = (n-1)cdot 8,r,
onde r = 90^circ.
Os ingredientes principais são:
– A soma dos ângulos internos de um polígono de k lados é
(k-2)cdot 180^circ,
– Num prisma reto, cada face lateral é um retângulo, ou seja, um quadrilátero com quatro ângulos retos de 90^circ.

Passo 2

Cada base do prisma é um polígono de n lados. Logo, a soma dos ângulos internos de uma base vale
(n-2)cdot 180^circ = (n-2)cdot 2,r,

Passo 3

Como há duas bases, a soma dos ângulos internos das duas bases é
2 times l((n-2)cdot 2,rr) = 4,(n-2),r,

Passo 4

Cada face lateral é um retângulo, cuja soma de ângulos internos é
(4-2)cdot 180^circ = 360^circ = 4,r,
Como há n faces laterais, a soma dos ângulos de todas as faces laterais é
n times 4,r = 4,n,r,

Passo 5

Somando as contribuições das bases e das faces laterais, obtemos
S = 4,(n-2),r + 4,n,r = 4nr - 8r + 4nr = 8r,(n-1),

Resposta

S = (n-1)cdot 8,r

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