Prove que:
sumi=1^k i(i+1)!=1-1(n+1)!
Sugestão: Desenvolva a somatória e use a identidade:
1i!-1(i+1)!=i(i+1)!

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro n>=1, vale
sumi=1^ni(i+1)! =1-1(n+1)!
O conteúdo principal é o reconhecimento de uma soma telescópica usando a relação entre fatoriais.

Passo 2

Primeiro, provamos a identidade sugerida. Observe que
1i!-1(i+1)! =1i!-1(i+1),i! =(i+1)-1(i+1),i! =i(i+1)!
Portanto
i(i+1)! =1i!-1(i+1)!

Passo 3

Agora substituímos cada termo da soma pela forma telescópica:
sumi=1^ni(i+1)! =sumi=1^nl(1i!-1(i+1)!r)

Passo 4

Desenvolvendo a soma telescópica, temos
sumi=1^n1i! -sumi=1^n1(i+1)! =l(11!+12!+cdots+1n!r) -l(12!+13!+cdots+1(n+1)!r)
Quase todos os termos cancelam, sobrando
11!-1(n+1)! =1-1(n+1)!

Resposta

sumi=1^ni(i+1)! =1-1(n+1)!

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