São dadas 2 retas paralelas. Marcam-se 10 pontos distintos sobre uma e 8 pontos distintos sobre a outra. Quantos triângulos podemos formar ligando 3 quaisquer desses 18 pontos?

Passo 1

O enunciado dá duas retas paralelas com 10 pontos distintos sobre a primeira e 8 pontos distintos sobre a segunda, totalizando 18 pontos. Queremos contar quantos triângulos não degenerados (ou seja, cujos vértices não sejam colineares) podemos formar com esses pontos.

Passo 2

Sem restrição, o número de maneiras de escolher 3 pontos entre os 18 é dado por
binom183

Passo 3

Os únicos casos degenerados ocorrem quando os três pontos escolhidos estão todos na mesma reta. Então subtraímos:
binom103
para a primeira reta e
binom83
para a segunda reta.

Passo 4

Calculando cada binomial:
binom183 =18cdot17cdot166=816,
binom103 =10cdot9cdot86=120,
binom83 =8cdot7cdot66=56

Passo 5

O total de triângulos é
816 - (120 + 56) = 816 - 176 = 640

Resposta

640 triângulos não degenerados.

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