(Puc/RS-2000) Em um triângulo retângulo, a medida de um cateto é igual a 6 cm e a medida da projeção do outro cateto sobre a hipotenusa é igual a 5 cm . O maior lado desse triângulo mede, em cm,
b) \frac{28}{3}

Passo 1

Temos um triângulo retângulo em que um cateto mede 6 cm e a projeção do outro cateto sobre a hipotenusa mede 5 cm.
Conteúdo: teorema de projeção de cateto sobre a hipotenusa e Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Denotemos:
a = hipotenusa,
b = cateto cuja projeção sobre a é 5,
c=6 = o outro cateto.
Pelo teorema da projeção do cateto sobre a hipotenusa vale
b^2 = a \cdot (\text{projeção de }b)çã
ou seja
b^2 = a \cdot 5 = 5a.

Passo 3

Pelo Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo temos
b^2 + c^2 = a^2.
Como c=6, fica
b^2 + 6^2 = a^2 \quad\Longrightarrow\quad b^2 + 36 = a^2.

Passo 4

Substituindo b^2=5a na equação de Pitágoras:
5a + 36 = a^2 \quad\Longrightarrow\quad a^2 - 5a - 36 = 0.

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática:
a = \frac{5 \pm \sqrt{5^2 + 4\cdot36}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2} = \frac{5 \pm 13}{2}.
A única solução positiva é
a = \frac{5 + 13}{2} = 9.

Passo 6

O maior lado do triângulo é a hipotenusa, logo mede 9 cm.

Resposta

9

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