(PUC-SP) Dois navios navegavam pelo Oceano Atlântico, supostamente plano: x, à velocidade constante de 16 milhas por hora, e y à velocidade constante de 12 milhas por hora. Sabe-se que às 15 horas de certo dia y estava exatamente 72 milhas ao sul de x e que, a partir de então, y navegou em linha reta para o leste, enquanto que x navegou em linha reta para o sul, cada qual mantendo suas respectivas velocidades. Nessas condições, às 17 horas e 15 minutos do mesmo dia, a distância entre x e y, em milhas, era:
a) 45
b) 48
c) 50
d) 55
e) 58

Passo 1

Vamos colocar um sistema de coordenadas no plano: no instante inicial t=0 (que corresponde a 15 h), colocamos o navio x na origem (0,0) e o navio y em (0,-72), pois ele está 72 milhas ao sul de x. O navio x passa a navegar para o sul com velocidade constante de 16 mi/h, e o navio y passa a navegar para o leste com velocidade constante de 12 mi/h. Precisamos achar a distância entre eles em t=2,25 h (que é 17 h 15 min).

Passo 2

Escrevemos as posições de x e y em função de t (em horas após as 15 h):
– O navio x, que parte de (0,0) e vai para o sul, tem
x(t) = l(0,,-16tr)
– O navio y, que parte de (0,-72) e vai para o leste, tem
y(t) = l(12t,,-72r)

Passo 3

O vetor que liga x a y em t é
xy(t) ;=; y(t) - x(t) ;=;l(12t,,-72r);-;l(0,,-16tr) ;=;l(12t,,-72+16tr)

Passo 4

No instante t=2,25 h temos
12t = 12times2,25 = 27, -72 + 16t = -72 +16times2,25 = -72 +36 = -36
Portanto
xy(2,25) = (27,,-36)

Passo 5

A distância entre x e y é o comprimento desse vetor, dado por Pitágoras:
d = raiz27^2 + (-36)^2 = raiz729 + 1296 = raiz2025 = 45

Resposta

45

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