(PUC/MG-97) Os números naturais a e b são tais que ab=2^3 3^2 5 e a / b=0,4. O máximo divisor comum de a e b é:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e ) 30

Passo 1

O enunciado dá dois números naturais a e b tais que
ab = 2^3 cdot 3^2 cdot 5
e
ab = 0,4
Queremos encontrar gcd(a,b). Vamos usar fatoração em primos e a relação de razão entre a e b.

Passo 2

Como ab = 0,4 = 25, podemos escrever
a = 25 , b
Para que a e b sejam inteiros, seja b = 5k com kinN. Então
a = 2k

Passo 3

Substituindo a=2k e b=5k no produto ab, vem:
(2k),(5k) = 10,k^2 = 2^3 cdot 3^2 cdot 5 = 360

Passo 4

Isolando k^2, temos
10,k^2 = 360 Longrightarrow k^2 = 36 Longrightarrow k = 6
(consideramos k>0 pois b é natural). Logo
b = 5k = 30, a = 2k = 12

Passo 5

Para encontrar gcd(a,b), fatoramos
12 = 2^2cdot3, 30 = 2cdot3cdot5
O máximo divisor comum é
gcd(12,30) = 2cdot3 = 6

Resposta

6

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