Num quadrilátero reverso de lados congruentes entre si e congruentes às diagonais, prove que os lados opostos são ortogonais, assim como as diagonais também são ortogonais (em outros termos: prove que as arestas opostas de um tetraedro regular são ortogonais).
Passo 1
O enunciado descreve um “quadrilátero reverso” cujos quatro lados e as duas diagonais são todos congruentes. Equivalentemente, temos quatro pontos em tais que
Geometricamente isso significa que é um tetraedro regular de aresta . Queremos provar que arestas opostas são ortogonais, isto é,
Passo 2
Coloquemos na origem do espaço e definamos os vetores
Como AB=AC=AD=L, temos
| b| = | c| = | d| = L
Passo 3
Usamos agora as congruências das diagonais, por exemplo BC= L. Como
BC = c - b,
temos
| c - b|^2 = | c|^2 + | b|^2 - 2, bcdot c = L^2 + L^2 - 2, bcdot c
e isso deve ser igual a L^2. Logo
2L^2 - 2, bcdot c = L^2 Longrightarrow bcdot c = L^22
Análogos raciocínios com BD=L e CD=L dão
bcdot d = L^22, ccdot d = L^22
Passo 4
Para ABperp CD, note que
AB = b, CD = D-C = d - c
Então
b cdot ( d - c) = bcdot d ;-; bcdot c = L^22 - L^22 =0,
o que mostra ABperp CD.
Passo 5
Para ACperp BD, observamos
AC = c, BD = D-B = d - b,
e calculamos
c cdot ( d - b) = ccdot d ;-; ccdot b = L^22 - L^22 =0,
logo ACperp BD.
Passo 6
Para BCperp DA, usamos
BC = c - b, DA = A-D = - d,
portanto
( c - b)cdot(- d) = -l( ccdot d - bcdot dr) = -l(tfracL^22 - tfracL^22r) =0,
isto é, BCperp DA.
Resposta
ABperp CD, BCperp DA e ACperp BD.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 71