Num quadrilátero reverso de lados congruentes entre si e congruentes às diagonais, prove que os lados opostos são ortogonais, assim como as diagonais também são ortogonais (em outros termos: prove que as arestas opostas de um tetraedro regular são ortogonais).

Passo 1

O enunciado descreve um “quadrilátero reverso” cujos quatro lados e as duas diagonais são todos congruentes. Equivalentemente, temos quatro pontos A,B,C,D em R^3 tais que
AB=BC=CD=DA=AC=BD=L
Geometricamente isso significa que A,B,C,D é um tetraedro regular de aresta L. Queremos provar que arestas opostas são ortogonais, isto é,
ABperp CD, BCperp DA, ACperp BD

Passo 2

Coloquemos A na origem do espaço e definamos os vetores
b = AB, c = AC, d = AD
Como AB=AC=AD=L, temos
| b| = | c| = | d| = L

Passo 3

Usamos agora as congruências das diagonais, por exemplo BC= L. Como
BC = c - b,
temos
| c - b|^2 = | c|^2 + | b|^2 - 2, bcdot c = L^2 + L^2 - 2, bcdot c
e isso deve ser igual a L^2. Logo
2L^2 - 2, bcdot c = L^2 Longrightarrow bcdot c = L^22
Análogos raciocínios com BD=L e CD=L dão
bcdot d = L^22, ccdot d = L^22

Passo 4

Para ABperp CD, note que
AB = b, CD = D-C = d - c
Então
b cdot ( d - c) = bcdot d ;-; bcdot c = L^22 - L^22 =0,
o que mostra ABperp CD.

Passo 5

Para ACperp BD, observamos
AC = c, BD = D-B = d - b,
e calculamos
c cdot ( d - b) = ccdot d ;-; ccdot b = L^22 - L^22 =0,
logo ACperp BD.

Passo 6

Para BCperp DA, usamos
BC = c - b, DA = A-D = - d,
portanto
( c - b)cdot(- d) = -l( ccdot d - bcdot dr) = -l(tfracL^22 - tfracL^22r) =0,
isto é, BCperp DA.

Resposta

ABperp CD, BCperp DA e ACperp BD.

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