Há quantas soluções possíveis para a equação
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=21se x_{i}, i=1,2,3,4,5, é um número inteiro não negativo, tal que
x_{1} \geq 1 ?

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções inteiras não negativas de
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=21
sujeitas a \,x_{1}\ge1.
O conteúdo aqui é o princípio de “estrelas e barras” para contar distribuições inteiras, e vamos usar uma substituição para tratar a restrição x_{1}\ge1.

Passo 2

Para eliminar a condição x_{1}\ge1, definimos
y_{1}=x_{1}-1,
de modo que y_{1}\ge0. Então a equação passa a ser
y_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5} = 21 - 1 = 20,
com todas as variáveis \,y_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\ge0.

Passo 3

Pelo resultado de estrelas e barras, o número de soluções inteiras não negativas de
y_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=20
com 5 variáveis é
\binom{20+5-1}{5-1} = \binom{24}{4}.

Passo 4

Calcular \binom{24}{4}:
\binom{24}{4} = \frac{24\cdot23\cdot22\cdot21}{4!} = \frac{24\cdot23\cdot22\cdot21}{24} =23\cdot22\cdot21 =10626.

Resposta

10626

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