Quantos elementos fazem parte da união de quatro conjuntos se cada um dos conjuntos tiver 100 elementos, cada par desses conjuntos compartilharem 50 elementos, cada três desses conjuntos compartilharem 25 elementos e 5 elementos fizerem parte dos quatro conjuntos?

Passo 1

O enunciado dá quatro conjuntos A, B, C e D, cada um com \lvert A\rvert=\lvert B\rvert=\lvert C\rvert=\lvert D\rvert=100. Cada par de conjuntos tem interseção de tamanho 50, cada tripla de conjuntos tem interseção de tamanho 25 e a interseção dos quatro é de tamanho 5. Vamos usar o princípio da inclusão-exclusão para quatro conjuntos.

Passo 2

Calculamos a soma das cardinalidades individuais:
\sum_{X\in\{A,B,C,D\}}\lvert X\rvert =4\times 100 =400.

Passo 3

\binom{4}{2}=6 pares de conjuntos e cada interseção de par tem tamanho 50. Logo,
\sum_{i<j}\lvert A_i\cap A_j\rvert =6\times 50 =300.

Passo 4

\binom{4}{3}=4 triplas de conjuntos, cada uma com interseção de tamanho 25, e a interseção de todos os quatro é 5. Assim,
\sum_{i<j<k}\lvert A_i\cap A_j\cap A_k\rvert =4\times 25 =100,
e
\lvert A\cap B\cap C\cap D\rvert =5.

Passo 5

Pelo princípio da inclusão-exclusão para quatro conjuntos:
\lvert A\cup B\cup C\cup D\rvert =\sum_{i}\lvert A_i\rvert -\sum_{i<j}\lvert A_i\cap A_j\rvert +\sum_{i<j<k}\lvert A_i\cap A_j\cap A_k\rvert -\lvert A\cap B\cap C\cap D\rvert.
Substituindo:
\lvert A\cup B\cup C\cup D\rvert =400 - 300 + 100 - 5 =195.

Resposta

195 elementos.

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