Quantos elementos fazem parte da união de quatro conjuntos se cada um dos conjuntos tiver 100 elementos, cada par desses conjuntos compartilharem 50 elementos, cada três desses conjuntos compartilharem 25 elementos e 5 elementos fizerem parte dos quatro conjuntos?
Passo 1
O enunciado dá quatro conjuntos
,
,
e
, cada um com
. Cada par de conjuntos tem interseção de tamanho
, cada tripla de conjuntos tem interseção de tamanho
e a interseção dos quatro é de tamanho
. Vamos usar o princípio da inclusão-exclusão para quatro conjuntos.
Passo 2
Calculamos a soma das cardinalidades individuais:
Passo 3
Há
pares de conjuntos e cada interseção de par tem tamanho
. Logo,
Passo 4
Há
triplas de conjuntos, cada uma com interseção de tamanho
, e a interseção de todos os quatro é
. Assim,
e
Passo 5
Pelo princípio da inclusão-exclusão para quatro conjuntos:
Substituindo: