Quantos números inteiros positivos menores que 1000
a) são divisíveis por 7 ?
b) são divisíveis por 7 , mas não por 11 ?
c) são divisíveis por 7 e por 11 ?
d) são divisíveis por 7 ou por 11?
e) são divisíveis exatamente por 7 e por 11 ?
f) não são divisíveis nem por 7 nem por 11?
g) têm dígitos distintos?
h) têm dígitos distintos e são pares?

Passo 1

O enunciado pede para contar quantos inteiros positivos em \{1,2,\dots,999\} satisfazem várias condições de divisibilidade por 7 e 11, e também condições sobre dígitos distintos (e pares). Vamos usar:
  1. Contagem de múltiplos via \lfloor 999/d\rfloor.
  2. Princípio da inclusão-exclusão.
  3. Princípio de contagem de dígitos distintos por posição.

Passo 2

Primeiro encontramos:
– Quantos são divisíveis por 7?
\Big\lfloor\frac{999}{7}\Big\rfloor = 142.
– Quantos são divisíveis por 11?
\Big\lfloor\frac{999}{11}\Big\rfloor = 90.
– Quantos são divisíveis por ambos (i.e.\ por \mathrm{mcm}(7,11)=77)?
\Big\lfloor\frac{999}{77}\Big\rfloor = 12.
Logo:
a) 142.
c) 12.
E os que são divisíveis por 7 mas não por 11 são
142 - 12 = 130,
logo
b) 130.

Passo 3

Usando inclusão-exclusão:
– Quantos são divisíveis por 7 ou por 11 (inclusive)?
142 + 90 - 12 = 220.
– Quantos são divisíveis exatamente por um dos dois (exclusivo)?
(142-12) + (90-12) = 130 + 78 = 208.
– Quantos não são divisíveis nem por 7 nem por 11?
999 - 220 = 779.
Portanto:
d) 220.
e) 208.
f) 779.

Passo 4

Agora os de dígitos todos distintos em 1 a 999. Dividimos por número de dígitos:
– 1 dígito: há 9 números \{1,\dots,9\}.
– 2 dígitos: primeiro algarismo de 1 a 9 9 escolhas), segundo de 0 a 9 menos o primeiro ( 9 escolhas), total 9\cdot9=81.
– 3 dígitos: primeiro de 1 a 9 ( 9, segundo de 0–9 exceto o primeiro 9, terceiro exceto os dois anteriores 8, total 9\cdot9\cdot8=648.
Somando:
9 + 81 + 648 = 738.
Logo g) 738.

Passo 5

Por fim, dígitos distintos e número par:
– 1 dígito par: \{2,4,6,8\}, são 4.
– 2 dígitos pares distintos: último em \{0,2,4,6,8\}.
  • se último =0, primeiro ∈ {1–9}: 9 casos;
  • se último ∈ {2,4,6,8}, então primeiro ∈ {1–9} \setminus{último}: 8 casos cada.
    Total 9 + 4\cdot8 = 9+32=41.
    – 3 dígitos pares distintos: último em \{0,2,4,6,8\}, primeiro em 1–9 distinto do último, segundo em 0–9 distinto dos dois:
  • caso último =0: 9 escolhas para primeiro \times 8 para segundo =72;
  • caso último \neq 0 (4 opções): primeiro 8 opções × segundo 8 opções = 4\cdot8\cdot8=256.
    Soma 72+256=328.
    Totalizando 4 + 41 + 328 = 373.
    Logo h) 373.

Resposta

a) 142
b) 130
c) 12
d) 220
e) 208
f) 779
g) 738
h) 373

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