Quantos números inteiros positivos menores que 1000
a) são divisíveis por 7 ?
b) são divisíveis por 7 , mas não por 11 ?
c) são divisíveis por 7 e por 11 ?
d) são divisíveis por 7 ou por 11?
e) são divisíveis exatamente por 7 e por 11 ?
f) não são divisíveis nem por 7 nem por 11?
g) têm dígitos distintos?
h) têm dígitos distintos e são pares?
a) são divisíveis por 7 ?
b) são divisíveis por 7 , mas não por 11 ?
c) são divisíveis por 7 e por 11 ?
d) são divisíveis por 7 ou por 11?
e) são divisíveis exatamente por 7 e por 11 ?
f) não são divisíveis nem por 7 nem por 11?
g) têm dígitos distintos?
h) têm dígitos distintos e são pares?
Passo 1
O enunciado pede para contar quantos inteiros positivos em
satisfazem várias condições de divisibilidade por 7 e 11, e também condições sobre dígitos distintos (e pares). Vamos usar:
- Contagem de múltiplos via
. - Princípio da inclusão-exclusão.
- Princípio de contagem de dígitos distintos por posição.
Passo 2
Primeiro encontramos:
– Quantos são divisíveis por 7?
– Quantos são divisíveis por 7?
– Quantos são divisíveis por 11?
– Quantos são divisíveis por ambos (i.e.\ por
)?
Logo:
a) .
c) .
E os que são divisíveis por 7 mas não por 11 são
a)
c)
E os que são divisíveis por 7 mas não por 11 são
logo
b) .
b)
Passo 3
Usando inclusão-exclusão:
– Quantos são divisíveis por 7 ou por 11 (inclusive)?
– Quantos são divisíveis por 7 ou por 11 (inclusive)?
– Quantos são divisíveis exatamente por um dos dois (exclusivo)?
– Quantos não são divisíveis nem por 7 nem por 11?
Portanto:
d) .
e) .
f) .
d)
e)
f)
Passo 4
Agora os de dígitos todos distintos em 1 a 999. Dividimos por número de dígitos:
– 1 dígito: há 9 números .
– 2 dígitos: primeiro algarismo de 1 a 9 escolhas), segundo de
a
menos o primeiro (
escolhas), total
.
– 3 dígitos: primeiro de 1 a 9 ( , segundo de 0–9 exceto o primeiro
, terceiro exceto os dois anteriores
, total
.
Somando:
– 1 dígito: há 9 números
– 2 dígitos: primeiro algarismo de 1 a 9
– 3 dígitos: primeiro de 1 a 9 (
Somando:
Logo g)
.
Passo 5
Por fim, dígitos distintos e número par:
– 1 dígito par: , são 4.
– 2 dígitos pares distintos: último em .
– 1 dígito par:
– 2 dígitos pares distintos: último em
- se último
, primeiro ∈ {1–9}: 9 casos; - se último ∈ {2,4,6,8}, então primeiro ∈ {1–9}
{último}: 8 casos cada.
Total.
– 3 dígitos pares distintos: último em, primeiro em 1–9 distinto do último, segundo em 0–9 distinto dos dois: - caso último
: escolhas para primeiro para segundo ; - caso último
(4 opções): primeiro opções × segundo opções = .
Soma.
Totalizando.
Logo h).
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)