Quantos números inteiros positivos entre 5 e 31
a) são divisíveis por 3? Quais números inteiros são esses?
b) são divisíveis por 4 ? Quais números inteiros são esses?
c) são divisíveis por 3 e por 4 ? Quais números inteiros são esses?

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos, no conjunto dos inteiros positivos entre 5 e 31 (isto é, todos n tais que 6 \le n \le 30),
a) quantos e quais são os múltiplos de 3;
b) quantos e quais são os múltiplos de 4;
c) quantos e quais são os múltiplos de 3 e de 4 simultaneamente.
O conteúdo usado será o de progressões aritméticas de razão d para listar e contar múltiplos de um dado número.

Passo 2

Para achar os múltiplos de um inteiro d em [6,30], usamos:
m_{\min} = \bigl\lceil \tfrac{6}{d}\bigr\rceil \cdot d, \quad m_{\max} = \bigl\lfloor \tfrac{30}{d}\bigr\rfloor \cdot d,
e o número de termos é
N = \frac{m_{\max} - m_{\min}}{d} + 1.

Passo 3

(a) Com d=3:
m_{\min} = \bigl\lceil \tfrac{6}{3}\bigr\rceil\cdot3 = 2\cdot3 = 6, \quad m_{\max} = \bigl\lfloor \tfrac{30}{3}\bigr\rfloor\cdot3 = 10\cdot3 = 30,
N = \frac{30 - 6}{3} + 1 = 8 + 1 = 9.
Os números são
6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30.

Passo 4

(b) Com d=4:
m_{\min} = \bigl\lceil \tfrac{6}{4}\bigr\rceil\cdot4 = 2\cdot4 = 8, \quad m_{\max} = \bigl\lfloor \tfrac{30}{4}\bigr\rfloor\cdot4 = 7\cdot4 = 28,
N = \frac{28 - 8}{4} + 1 = 5 + 1 = 6.
Os números são
8, 12, 16, 20, 24, 28.

Passo 5

(c) Múltiplos de 3 e de 4 são múltiplos de \mathrm{mcm}(3,4)=12:
m_{\min} = \bigl\lceil \tfrac{6}{12}\bigr\rceil\cdot12 = 1\cdot12 = 12, \quad m_{\max} = \bigl\lfloor \tfrac{30}{12}\bigr\rfloor\cdot12 = 2\cdot12 = 24,
N = \frac{24 - 12}{12} + 1 = 1 + 1 = 2.
Os números são
12, 24.

Resposta

(a) Há 9 números: 6,9,12,15,18,21,24,27,30.
(b) Há 6 números: 8,12,16,20,24,28.
(c) Há 2 números: 12,24.

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