(UF-RJ) A região R é composta por quatro círculos de raio 1, de centros A, B, C e D. Sabe-se que AB=2 e que ABCD é um quadrado de diagonais A C e B D.
Determine o comprimento da menor linha poligonal, inteiramente contida em R, ligando A a C.

Passo 1

O enunciado descreve quatro discos de raio 1, de centros A,B,C,D, que formam um quadrado de lado AB=2. A região R é a união desses discos, e queremos o menor caminho poligonal contido em R ligando A a C. Como o segmento reto AC atravessa a “folga” central não coberta pelos discos, o caminho ótimo deve contornar esse buraco passando pelos pontos de tangência sucessiva dos discos.

Passo 2

Escolhemos coordenadas convenientes:
A=(-1,-1), B=(1,-1), C=(1,1), D=(-1,1)
Cada disco tem raio 1, logo os discos de A e B são tangentes em
P = (0,-1),
e os discos de B e C em
Q = (1,0)
Analogamente, o caminho alternativo pelo disco de D passa pelos pontos (-1,0) e (0,1), com mesma simetria.

Passo 3

O caminho dentro de R não pode atravessar a região vazia central, então deve ir de A até P (dentro do disco de A), depois de P a Q (dentro do disco de B), e finalmente de Q a C (dentro do disco de C). Qualquer outro desvio aumentaria a distância ou sairia de R.

Passo 4

Calculamos os comprimentos dos três trechos:
AP = raiz(0-(-1))^2 + (-1-(-1))^2 = 1,
PQ = raiz(1-0)^2 + (0-(-1))^2 = raiz2,
QC = raiz(1-1)^2 + (1-0)^2 = 1
Somando, o comprimento total é
AP + PQ + QC = 1 + raiz2 + 1 = 2 + raiz2

Resposta

2 + raiz2

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