(UF-RS) Um ponto P é aleatoriamente selecionado num retângulo S de dimensões 50 cm por 20 cm . Considere, a partir de S , as seguintes regiões:
Região A - retângulo de dimensões 15 cm por 4 cm com centro no centro de S.
Região B - círculo de raio 4 cm com centro no centro de S .
Suponha que a probabilidade de que o ponto P pertença a uma região contida em S seja proporcional à área da região.
Determine a probabilidade de que P pertença simultaneamente às regiões A e B .

Passo 1

O enunciado sorteia um ponto P uniformemente em um retângulo S de dimensões 50,cm por 20,cm. Definimos duas regiões centradas no mesmo centro de S:
– Região A: retângulo de largura 15,cm e altura 4,cm.
– Região B: círculo de raio 4,cm.
Como a probabilidade é proporcional à área, queremos
Pr(P in A cap B) = área(A cap B)área(S) áá

Passo 2

Calculemos a área de S:
área(S)=50cdot 20=1000(cm^2) á
No sistema de coordenadas com a origem no centro de S, o retângulo A é dado por
|x|<= 7,5, |y|<= 2,
e o círculo B é
x^2+y^2<= 16
Então Acap B é o conjunto de (x,y) tais que |y|<=2 e x^2+y^2<=16.

Passo 3

Para cada yin[-2,2], os pontos de Acap B satisfazem
-,raiz16-y^2;<= x<=raiz16-y^2,
pois raiz16-y^2<=raiz16-4=raiz12approx3,46<7,5. Logo a largura em x é 2raiz16-y^2 e a área de Acap B vale
área(Acap B) =integraly=-2^22,raiz16-y^2,dy =2integral-2^2raiz16-y^2,dy á

Passo 4

Usamos a primitiva habitual para integralraiza^2-y^2,dy. Para a=4,
integralraiz16-y^2,dy =y2raiz16-y^2 +162arcsinl(tfracy4r)
Assim
2integral-2^2raiz16-y^2,dy =l[yraiz16-y^2+16arcsinl(tfracy4r)r]-2^2 =8raiz3+16pi3

Passo 5

Portanto
Pr(Pin Acap B) =área(Acap B)1000 =8raiz3+tfrac16pi31000 =3raiz3+2pi375 á

Resposta

Pr(Pin Acap B) =3raiz3+2pi375

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