(UF-RS) Um ponto P é aleatoriamente selecionado num retângulo
de dimensões 50 cm por 20 cm . Considere, a partir de S , as seguintes regiões:
Região A - retângulo de dimensões 15 cm por 4 cm com centro no centro de
.
Região B - círculo de raio 4 cm com centro no centro de S .
Suponha que a probabilidade de que o ponto
pertença a uma região contida em
seja proporcional à área da região.
Determine a probabilidade de que P pertença simultaneamente às regiões A e B .
Região A - retângulo de dimensões 15 cm por 4 cm com centro no centro de
Suponha que a probabilidade de que o ponto
Passo 1
O enunciado sorteia um ponto
uniformemente em um retângulo
de dimensões
,cm por
,cm. Definimos duas regiões centradas no mesmo centro de
:
– Região : retângulo de largura
,cm e altura
,cm.
– Região : círculo de raio
,cm.
Como a probabilidade é proporcional à área, queremos
– Região
– Região
Como a probabilidade é proporcional à área, queremos
Passo 2
Calculemos a área de
:
No sistema de coordenadas com a origem no centro de
, o retângulo
é dado por
e o círculo
é
Então
é o conjunto de
tais que
e
.
Passo 3
Para cada
, os pontos de
satisfazem
pois
. Logo a largura em
é
e a área de
vale
Passo 4
Usamos a primitiva habitual para
. Para
,
Assim
Passo 5
Portanto