(ITA-SP) As retas r1 e r2 são concorrentes no ponto P , exterior a um círculo omega. A reta r1 tangencia omega no ponto A e a reta r2 intercepta omega nos pontos B e C diametralmente opostos. A medida do arco overparenA C é 60^circ e PA mede raiz2 cm. Determine a área do setor menor de omega definido pelo arco overparenA B.

Passo 1

O enunciado descreve um ponto exterior a uma circunferência de centro e raio , de modo que:
– A reta tangencia em , com .
– A reta atravessa em e , sendo e extremos de um diâmetro.
– O arco menor mede .
Queremos a área do setor menor determinado pelo arco .

Passo 2

Escolhemos o sistema de coordenadas com O=(0,0) e colocamos A em (R,0).
Então a reta tangente em A é a vertical x=R, e como PA=raiz2 temos
P=(R,raiz2),
Como B e C são opostos pelo centro, a reta r2 passa por O e P.

Passo 3

O coeficiente angular de é
Por outro lado, o arco de coloca o ponto em coordenadas polares , isto é, em direção cujo ângulo com o eixo é , logo o coeficiente angular de é .
Como são colineares,

Passo 4

O ponto é diametralmente oposto a , que está a no sentido anti-horário a partir de (em ).
Logo fica a .
O arco menor corresponde ao menor ângulo entre e , ou seja

Passo 5

A área de um setor de círculo de raio R e ângulo varphi (em radianos) é tfrac12R^2varphi.
Aqui R^2=tfrac23 e varphi=tfrac2pi3, então
área =tfrac12;l(tfrac23r);l(tfrac2pi3r) =2pi9 á

Resposta

2pi9,cm^2

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