Que regras você conhece para calcular derivadas? Cite alguns exemplos.

Passo 1

O enunciado pede para apresentarmos as principais regras de derivação de funções e ilustrarmos cada uma com exemplos simples. O conteúdo envolve regras de linearidade (soma, diferença, constante), potência, produto, quociente, cadeia e derivadas de funções elementares.

Passo 2

Regra da soma, diferença e constante multiplicativa.
A derivada de uma soma é a soma das derivadas, a derivada de uma diferença é a diferença das derivadas, e constantes podem sair de dentro da derivada.
Exemplo: se f(x)=3x^2+5x-7, então
f'(x)=3\cdot\bigl(x^2\bigr)'+5\cdot\bigl(x\bigr)'-\bigl(7\bigr)'=3\cdot2x+5\cdot1-0=6x+5.

Passo 3

Regra da potência.
Para g(x)=x^n, com n\in\mathbb{R}, vale
g'(x)=n\,x^{n-1}.
Exemplo: se h(x)=x^5, então h'(x)=5x^4.

Passo 4

Regra do produto.
Para u(x) e v(x),
\bigl(u\,v\bigr)'=u'\,v+u\,v'.
Exemplo: u(x)=x^2, v(x)=\sin x implica
(x^2\sin x)'=2x\sin x + x^2\cos x.

Passo 5

Regra do quociente.
Para u(x) e v(x)\neq0,
\Bigl(\frac{u}{v}\Bigr)'=\frac{u'\,v - u\,v'}{v^2}.
Exemplo: u(x)=\ln x, v(x)=x
\Bigl(\frac{\ln x}{x}\Bigr)'=\frac{\frac1x\cdot x - \ln x\cdot1}{x^2} =\frac{1-\ln x}{x^2}.

Passo 6

Regra da cadeia.
Quando temos composição y=f\bigl(g(x)\bigr),
y' = f'\bigl(g(x)\bigr)\,\cdot g'(x).
Exemplo: se f(u)=u^3 e u=g(x)=\cos x, então
\frac{d}{dx}(\cos^3x)=3(\cos x)^2\cdot(-\sin x)=-3\cos^2x\sin x.

Passo 7

Derivadas de funções elementares comuns.
\displaystyle\frac{d}{dx}e^x=e^x,\quad \frac{d}{dx}\ln x=\frac1x,\quad \frac{d}{dx}\sin x=\cos x,\quad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x.

Resposta

  • Regra da soma/diferença: \bigl(f\pm g\bigr)'=f'\pm g'.
  • Regra do múltiplo constante: \bigl(c\,f\bigr)'=c\,f'.
  • Regra da potência: \bigl(x^n\bigr)'=n\,x^{n-1}.
  • Regra do produto: \bigl(u\,v\bigr)'=u'\,v+u\,v'.
  • Regra do quociente: \bigl(\tfrac{u}{v}\bigr)'=\tfrac{u'\,v - u\,v'}{v^2}.
  • Regra da cadeia: \tfrac{d}{dx}f\bigl(g(x)\bigr)=f'\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).
  • Derivadas típicas:
    \bullet \frac{d}{dx}e^x=e^x \bullet \frac{d}{dx}\ln x=\tfrac1x \bullet \frac{d}{dx}\sin x=\cos x \bullet \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x

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