O que significa uma função ser derivável em um intervalo aberto? E em um intervalo fechado?

Passo 1

O enunciado pergunta o que significa uma função f ser derivável em um intervalo aberto e o que significa ser derivável em um intervalo fechado. O conteúdo aqui é a definição de derivada via limite do quociente incremental, considerando pontos interiores e extremos de um intervalo.

Passo 2

Uma função f é derivável em um ponto interior x_{0} de um intervalo se existir o limite do quociente incremental quando h\to0. Isto é, existe
f'(x_{0}) = \lim_{h\to0} \frac{f(x_{0}+h) - f(x_{0})}{h}.
Logo, dizemos que f é derivável em um intervalo aberto (a,b) se, para todo x em (a,b), esse limite existir. Em outras palavras, toda vez que eu escolher x no interior de (a,b), consigo calcular f'(x).

Passo 3

Num intervalo fechado [a,b] há dois extremos sem vizinhança de ambos os lados. Para f ser derivável em [a,b] precisamos de três coisas:
  1. Para todo x em (a,b), f é derivável no sentido usual (como em (a,b)).
  2. Em a, existe a derivada pelo lado direito:
\lim_{h\to0^{+}} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \quad\text{existe}.
  1. Em b, existe a derivada pelo lado esquerdo:
\lim_{h\to0^{+}} \frac{f(b)-f(b-h)}{h} \quad\text{existe}.

Resposta

Em um intervalo aberto (a,b): significa que, para todo x\in(a,b), existe
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Em um intervalo fechado [a,b]: significa que f é derivável em cada ponto de (a,b) e ainda existe a derivada pelo lado direito em a e a derivada pelo lado esquerdo em b.

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