O que significa uma função ser derivável em um intervalo aberto? E em um intervalo fechado?
Passo 1
O enunciado pergunta o que significa uma função
ser derivável em um intervalo aberto e o que significa ser derivável em um intervalo fechado. O conteúdo aqui é a definição de derivada via limite do quociente incremental, considerando pontos interiores e extremos de um intervalo.
Passo 2
Uma função
é derivável em um ponto interior
de um intervalo se existir o limite do quociente incremental quando
. Isto é, existe
Logo, dizemos que
é derivável em um intervalo aberto
se, para todo
em
, esse limite existir. Em outras palavras, toda vez que eu escolher
no interior de
, consigo calcular
.
Passo 3
Num intervalo fechado
há dois extremos sem vizinhança de ambos os lados. Para
ser derivável em
precisamos de três coisas:
- Para todo
em , é derivável no sentido usual (como em ). - Em
, existe a derivada pelo lado direito:
- Em
, existe a derivada pelo lado esquerdo:
Resposta
Em um intervalo aberto
: significa que, para todo
, existe
Em um intervalo fechado
: significa que
é derivável em cada ponto de
e ainda existe a derivada pelo lado direito em
e a derivada pelo lado esquerdo em
.