O que representa a equação , sendo uma variável real?
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
com . Isso é um problema de geometria analítica sobre famílias de retas (feixe de retas) no plano.
Passo 2
Note que a equação pode ser vista como combinação linear de duas retas fixas. Defina
Então a equação dada é
ou seja, cada valor de gera uma reta do tipo
Passo 3
Uma combinação do tipo descreve justamente o feixe linear de retas determinado pelas retas e . Todas essas retas passam pelo ponto de interseção de e .
Passo 4
Para achar o ponto de interseção, resolvemos simultaneamente
Da primeira equação vem y=2x-8. Substituindo na segunda:
Logo y=2cdot3-8=-2. O ponto de interseção é P=(3,-2).
Passo 5
Concluímos que, à medida que t varia em R, a equação
-2x + y + 8 + t(3x - 2y - 13) = 0
gera todas as retas que passam porP=(3,-2). É, portanto, o feixe de retas centrado em (3,-2).
Resposta
A equação representa o feixe linear de retas no plano cuja base é o ponto de interseção (3,-2); em outras palavras, todas as retas que passam por (3,-2).
Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 7: Geometria analítica - 6ª Edição - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 89