O que representa a equação
-2 x+y+8+t(3 x-2 y-13)=0, sendo t uma variável real?

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
-2x + y + 8 + t(3x - 2y - 13) = 0
com tinR. Isso é um problema de geometria analítica sobre famílias de retas (feixe de retas) no plano.

Passo 2

Note que a equação pode ser vista como combinação linear de duas retas fixas. Defina
L1:;-2x + y + 8 = 0,
L2:;3x - 2y - 13 = 0
Então a equação dada é
L1 + t,L2 = 0,
ou seja, cada valor de t gera uma reta do tipo
-2x + y + 8 + t(3x - 2y - 13) = 0

Passo 3

Uma combinação do tipo L1 + t,L2=0 descreve justamente o feixe linear de retas determinado pelas retas L1 e L2. Todas essas retas passam pelo ponto de interseção de L1 e L2.

Passo 4

Para achar o ponto de interseção, resolvemos simultaneamente
-2x + y + 8 = 0, 3x - 2y - 13 = 0
Da primeira equação vem y=2x-8. Substituindo na segunda:
3x - 2(2x - 8) - 13 = 0 ;Longrightarrow; 3x - 4x +16 -13 = 0 ;Longrightarrow; -x + 3 = 0 ;Longrightarrow; x = 3
Logo y=2cdot3-8=-2. O ponto de interseção é P=(3,-2).

Passo 5

Concluímos que, à medida que t varia em R, a equação
-2x + y + 8 + t(3x - 2y - 13) = 0
gera todas as retas que passam por P=(3,-2). É, portanto, o feixe de retas centrado em (3,-2).

Resposta

A equação representa o feixe linear de retas no plano cuja base é o ponto de interseção (3,-2); em outras palavras, todas as retas que passam por (3,-2).

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