Represente geometricamente cada um dos subconjuntos de abaixo e diga se ele é um conjunto fechado ou não, aberto ou não, limitado ou não, compacto ou não. Determine também o interior e a fronteira de cada um destes subconjuntos. e são números inteiros .
Passo 1
O enunciado pede para representar geometricamente o conjunto
e dizer se é aberto, fechado, limitado e compacto, além de determinar seu interior e sua fronteira. O conteúdo é topologia em : definição de aberto, fechado, interior, fronteira, boundedness e Teorema de Heine–Borel.
Passo 2
Geometricamente, é o lattice inteiro no plano: todos os pontos cujas coordenadas são inteiras, formando uma grade infinita de pontos discretos.
Passo 3
Para ser aberto, cada ponto de precisaria ter uma bola em torno inteira contida em . Mas qualquer bola centrada num ponto inteiro contém pontos com coordenadas não inteiras. Logo não existe nenhum ponto interior, ou seja,
e não é aberto.
Passo 4
O complementar de em é o conjunto de pontos que têm pelo menos uma coordenada não inteira. Dado um ponto fora de , podemos tomar uma bola suficientemente pequena sem tocar nenhum ponto de . Isso mostra que o complementar é aberto, portanto é fechado.
Passo 5
O conjunto é infinito e se estende sem limite em todas as direções do plano. Logo é não limitado.
Passo 6
Pelo Teorema de Heine–Borel em , um conjunto é compacto se e só se for fechado e limitado. Embora seja fechado, não é limitado, portanto não é compacto.
Passo 7
A fronteira de é
Como S=S (fechado) e int(S)=varnothing, segue
partial S = S
Resposta
Representação geométrica: grade discreta de pontos (m,n) com m,ninZ.
Aberto? não.
Fechado? sim.
Limitado? não.
Compacto? não.
Interior: varnothing.
Fronteira: S (todos os pontos da grade).
Cálculo - Humberto J. Bortolossi - Cálculo de Várias Variáveis: Uma Introdução à Teoria da Otimização - 1ª Edição - Capítulo 4.4.4 - Ex. 9.b