Represente geometricamente cada um dos subconjuntos de R^2 abaixo e diga se ele é um conjunto fechado ou não, aberto ou não, limitado ou não, compacto ou não. Determine também o interior e a fronteira de cada um destes subconjuntos.
(x, y) in R^2 mid x e y são números inteiros .

Passo 1

O enunciado pede para representar geometricamente o conjunto
S = (x,y)inR^2mid x e y são números inteiros, ãú
e dizer se S é aberto, fechado, limitado e compacto, além de determinar seu interior e sua fronteira. O conteúdo é topologia em R^2: definição de aberto, fechado, interior, fronteira, boundedness e Teorema de Heine–Borel.

Passo 2

Geometricamente, S é o lattice inteiro no plano: todos os pontos cujas coordenadas são inteiras, formando uma grade infinita de pontos discretos.

Passo 3

Para ser aberto, cada ponto de S precisaria ter uma bola em torno inteira contida em S. Mas qualquer bola centrada num ponto inteiro contém pontos com coordenadas não inteiras. Logo não existe nenhum ponto interior, ou seja,
int(S) = varnothing
e S não é aberto.

Passo 4

O complementar de S em R^2 é o conjunto de pontos que têm pelo menos uma coordenada não inteira. Dado um ponto fora de S, podemos tomar uma bola suficientemente pequena sem tocar nenhum ponto de S. Isso mostra que o complementar é aberto, portanto S é fechado.

Passo 5

O conjunto S é infinito e se estende sem limite em todas as direções do plano. Logo S é não limitado.

Passo 6

Pelo Teorema de Heine–Borel em R^2, um conjunto é compacto se e só se for fechado e limitado. Embora S seja fechado, não é limitado, portanto não é compacto.

Passo 7

A fronteira de S é
partial S = S setminus int(S)
Como S=S (fechado) e int(S)=varnothing, segue
partial S = S

Resposta

Representação geométrica: grade discreta de pontos (m,n) com m,ninZ.
Aberto? não.
Fechado? sim.
Limitado? não.
Compacto? não.
Interior: varnothing.
Fronteira: S (todos os pontos da grade).

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