Represente geometricamente cada um dos subconjuntos de abaixo e diga se ele é um conjunto fechado ou não, aberto ou não, limitado ou não, compacto ou não. Determine também o interior e a fronteira de cada um destes subconjuntos. e .
Passo 1
O enunciado pede para a gente desenhar geometricamente o conjunto
e dizer se ele é aberto, fechado, limitado e compacto em . Além disso, queremos encontrar o interior e a fronteira . O conteúdo aqui é topologia básica em : definições de aberto, fechado, limitado, compacto, interior e fronteira.
Passo 2
Geometricamente, é o segmento da reta (o eixo ) entre e , sem incluir as extremidades. É um “pedaço de linha” aberto na forma
Passo 3
Para verificar se é aberto em , lembramos que um conjunto é aberto se todo ponto dele tem alguma bola (disco) em inteiramente contida no conjunto. Aqui, dado qualquer , qualquer disco centrado em atravessa pontos com , que não pertencem a . Logo, não é aberto.
Para ver que não é fechado, note que seus pontos de extremidade e são pontos de adesão (limite) de mas não estão em . Assim, não contém todos os seus pontos-limite e não é fechado.
Passo 4
Um conjunto é limitado se cabe dentro de algum disco de raio finito. Como , está contido num retângulo finito, então é limitado. Contudo, para ser compacto em é preciso ser fechado e limitado (Teorema de Heine–Borel). Como não é fechado, não é compacto.
Passo 5
O interior de em , , é o maior conjunto aberto contido em . Mas já vimos que não existe disco em inteiramente dentro de . Então
Passo 6
A fronteira é definida como
A aderência A de A é o segmento fechado com extremidades, ou seja
A = (x,y)inR^2 mid -1<= x<=1,;y=0
Como Int(A)=varnothing, segue que
partial A = A = (x,0)mid -1<= x<=1
Resposta
– Geometricamente: é o segmento aberto do eixo x entre -1 e 1.
– Aberto em R^2? Não.
– Fechado em R^2? Não.
– Limitado? Sim.
– Compacto? Não.
– Interior: varnothing.
– Fronteira: (x,0)inR^2mid -1<= x<=1.
Cálculo - Humberto J. Bortolossi - Cálculo de Várias Variáveis: Uma Introdução à Teoria da Otimização - 1ª Edição - Capítulo 4.4.4 - Ex. 9.a