Represente geometricamente cada um dos subconjuntos de R^2 abaixo e diga se ele é um conjunto fechado ou não, aberto ou não, limitado ou não, compacto ou não. Determine também o interior e a fronteira de cada um destes subconjuntos.
(x, y) in R^2 mid-1<x<+1 e y=0.

Passo 1

O enunciado pede para a gente desenhar geometricamente o conjunto
A = (x,y)inR^2 mid -1<x<1,;y=0,
e dizer se ele é aberto, fechado, limitado e compacto em R^2. Além disso, queremos encontrar o interior Int(A) e a fronteira partial A. O conteúdo aqui é topologia básica em R^2: definições de aberto, fechado, limitado, compacto, interior e fronteira.

Passo 2

Geometricamente, A é o segmento da reta y=0 (o eixo x) entre x=-1 e x=1, sem incluir as extremidades. É um “pedaço de linha” aberto na forma
segmento em y=0 com -1<x<1

Passo 3

Para verificar se A é aberto em R^2, lembramos que um conjunto é aberto se todo ponto dele tem alguma bola (disco) em R^2 inteiramente contida no conjunto. Aqui, dado qualquer (x,0)in A, qualquer disco centrado em (x,0) atravessa pontos com yneq0, que não pertencem a A. Logo, A não é aberto.
Para ver que A não é fechado, note que seus pontos de extremidade (-1,0) e (1,0) são pontos de adesão (limite) de A mas não estão em A. Assim, A não contém todos os seus pontos-limite e não é fechado.

Passo 4

Um conjunto é limitado se cabe dentro de algum disco de raio finito. Como Asubseteq(x,0)mid -1<= x<=1, está contido num retângulo finito, então A é limitado. Contudo, para ser compacto em R^2 é preciso ser fechado e limitado (Teorema de Heine–Borel). Como não é fechado, A não é compacto.

Passo 5

O interior de A em R^2, Int(A), é o maior conjunto aberto contido em A. Mas já vimos que não existe disco em R^2 inteiramente dentro de A. Então
Int(A)=varnothing

Passo 6

A fronteira partial A é definida como
partial A = AsetminusInt(A)
A aderência A de A é o segmento fechado com extremidades, ou seja
A = (x,y)inR^2 mid -1<= x<=1,;y=0
Como Int(A)=varnothing, segue que
partial A = A = (x,0)mid -1<= x<=1

Resposta

– Geometricamente: é o segmento aberto do eixo x entre -1 e 1.
– Aberto em R^2? Não.
– Fechado em R^2? Não.
– Limitado? Sim.
– Compacto? Não.
– Interior: varnothing.
– Fronteira: (x,0)inR^2mid -1<= x<=1.

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