(Requer cálculo) Suponha que f(x)=e^{x} e g(x)=e^{c x}, em que c é uma constante. Use a indução matemática juntamente com a regra da cadeia e o fato de que f^{\prime}(x)=e^{x} para demonstrar que g^{(n)}=c^{n} e^{c x} sempre que n for um número inteiro positivo.

Passo 1

O enunciado define f(x)=e^x e g(x)=e^{c x}, onde c é uma constante. Queremos provar por indução que
g^{(n)}(x)=c^n e^{c x}
para todo inteiro n\ge1. Para isso usaremos que f'(x)=e^x e a regra da cadeia na derivação de g.

Passo 2

Caso base n=1. Aplicando a regra da cadeia em g(x)=e^{c x}, temos
g'(x)=\frac{d}{dx}e^{c x} =e^{c x}\cdot\frac{d}{dx}(c x) =c\,e^{c x}.
Como c^1=c, segue que
g'(x)=c^1 e^{c x},
portanto a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que para algum k\ge1 valha
g^{(k)}(x)=c^k e^{c x}.
Então a derivada de ordem k+1 é
g^{(k+1)}(x)=\frac{d}{dx}\bigl(g^{(k)}(x)\bigr) =\frac{d}{dx}\bigl(c^k e^{c x}\bigr) =c^k\frac{d}{dx}e^{c x} =c^k\bigl(c\,e^{c x}\bigr) =c^{k+1}e^{c x}.
Isso mostra que, se a fórmula vale para n=k, vale também para n=k+1.

Resposta

Pelo princípio da indução matemática, concluímos que
g^{(n)}(x)=c^n e^{c x}
para todo inteiro positivo n.

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