(Requer cálculo) Suponha que
e
, em que
é uma constante. Use a indução matemática juntamente com a regra da cadeia e o fato de que
para demonstrar que
sempre que
for um número inteiro positivo.
Passo 1
O enunciado define
e
, onde
é uma constante. Queremos provar por indução que
para todo inteiro
. Para isso usaremos que
e a regra da cadeia na derivação de
.
Passo 2
Caso base
. Aplicando a regra da cadeia em
, temos
Como
, segue que
portanto a propriedade vale para
.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que para algum
valha
Então a derivada de ordem
é
Isso mostra que, se a fórmula vale para
, vale também para
.
Resposta
Pelo princípio da indução matemática, concluímos que
para todo inteiro positivo
.