Mostre que se
for um número inteiro positivo, então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, por indução ou por soma telescópica, que para todo inteiro positivo
vale
O conteúdo principal aqui é decompor a fração em frações parciais e então ver que a soma telescopa, isto é, muita coisa se cancela.
Passo 2
Fazemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando por
, obtemos
Comparando coeficientes resulta
Passo 3
Substituindo de volta,
Reagrupamos para ver o telescópio:
Passo 4
Agora somamos de
até
. A parte
e a parte
Somando as duas parcelas resulta
Passo 5
Basta colocar tudo sob o mesmo denominador
:
Somando os numeradores:
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