Um reservatório contém inicialmente 400 galões de salmoura na qual estão dissolvidos 45 kg de sal. É colocada água pura no reservatório à taxa de 20 gal / min e a mistura (que é mantida uniforme por agitação) é drenada à mesma taxa. Quantos quilos de sal permanecem no reservatório após 30 minutos?

Passo 1

O enunciado descreve um problema de mistura, em que um reservatório de volume constante 400 galões recebe água pura à taxa de 20 gal/min e drena a mistura à mesma taxa, mantendo a concentração uniforme por agitação. O objetivo é modelar a quantidade de sal M(t) em função do tempo usando uma equação diferencial de primeira ordem e depois calcular M(30).

Passo 2

Para montar a equação diferencial, note que não entra sal pela adição de água pura e sai sal pela drenagem, cuja concentração no instante t é tfracM(t)400 kg/gal. Assim a taxa de variação de M é
dMdt = -l(vazão de saídar)timesl(concentraçãor) = -20cdotM(t)400 = -120,M(t) ãíçã

Passo 3

Resolvendo a equação diferencial separável
dMdt = -120,M,
temos
integral dMM = -120integral dt Longrightarrow ln M = -t20 + C
Usando a condição inicial M(0)=45, obtém-se C=ln45. Logo
M(t) = 45,e^-t/20

Passo 4

Bast a avaliar em t=30 minutos:
M(30) = 45,e^-30/20 = 45,e^-3/2
Numericamente, com e^-1,5approx0,22313,
M(30)approx 45times0,22313approx10,04 kg

Resposta

Depois de 30 minutos permanecem aproximadamente 10,04 kg de sal no reservatório.

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