Um reservatório contém inicialmente 400 galões de salmoura na qual estão dissolvidos 45 kg de sal. É colocada água pura no reservatório à taxa de
e a mistura (que é mantida uniforme por agitação) é drenada à mesma taxa. Quantos quilos de sal permanecem no reservatório após 30 minutos?
Passo 1
O enunciado descreve um problema de mistura, em que um reservatório de volume constante
galões recebe água pura à taxa de
gal/min e drena a mistura à mesma taxa, mantendo a concentração uniforme por agitação. O objetivo é modelar a quantidade de sal
em função do tempo usando uma equação diferencial de primeira ordem e depois calcular
.
Passo 2
Para montar a equação diferencial, note que não entra sal pela adição de água pura e sai sal pela drenagem, cuja concentração no instante
é
kg/gal. Assim a taxa de variação de
é
Passo 3
Resolvendo a equação diferencial separável
temos
Usando a condição inicial
, obtém-se
. Logo
Passo 4
Bast a avaliar em
minutos:
Numericamente, com
,
Resposta
Depois de 30 minutos permanecem aproximadamente
kg de sal no reservatório.