RESFRIAMENTO Para fazer café instantâneo, misturamos água fervente (a
) com café solúvel. Se a temperatura do ar é
, uma lei da física nos diz que a temperatura do café após
minutos é dada por uma função da forma
. Depois de esfriar durante meio minuto, o café ainda está
acima da temperatura considerada ideal, mas, meio minuto depois, está pronto para ser bebido. Qual é a temperatura “ideal”?
Passo 1
O enunciado usa a lei de resfriamento de Newton para modelar a temperatura do café acima da temperatura ambiente de
C. O modelo é
onde
está em minutos. Sabemos que, depois de
min, a temperatura do café ainda está
C acima da temperatura considerada ideal
, e, após mais
min (isto é, em
min), atinge exatamente
. Vamos achar
,
e, por fim,
.
Passo 2
No instante
o café começa a
C (água recém-fervida), logo
Assim
Passo 3
Pela definição do enunciado:
Em termos da função, isso dá
Passo 4
Subtraindo as duas equações para eliminar
, obtemos
Passo 5
Faça
. Então
e a equação vira
As raízes são
Para
escolhe-se
pois a outra raiz levaria a uma temperatura final irrealisticamente baixa.
Passo 6
Agora
. Substituindo em
:
Resposta
A temperatura ideal para beber é aproximadamente
.