RESFRIAMENTO Para fazer café instantâneo, misturamos água fervente (a 100^{\circ} \mathrm{C} ) com café solúvel. Se a temperatura do ar é 20^{\circ} \mathrm{C}, uma lei da física nos diz que a temperatura do café após t minutos é dada por uma função da forma f(t)=201
A e^{-k t}. Depois de esfriar durante meio minuto, o café ainda está 17^{\circ} \mathrm{C} acima da temperatura considerada ideal, mas, meio minuto depois, está pronto para ser bebido. Qual é a temperatura “ideal”?

Passo 1

O enunciado usa a lei de resfriamento de Newton para modelar a temperatura do café acima da temperatura ambiente de 20^\circC. O modelo é
f(t)=20 + A\,e^{-k t},
onde t está em minutos. Sabemos que, depois de 0{,}5 min, a temperatura do café ainda está 17^\circC acima da temperatura considerada ideal T_i, e, após mais 0{,}5 min (isto é, em t=1 min), atinge exatamente T_i. Vamos achar A, k e, por fim, T_i.

Passo 2

No instante t=0 o café começa a 100^\circC (água recém-fervida), logo
f(0)=100 = 20 + A \quad\Longrightarrow\quad A = 80.
Assim
f(t)=20 + 80\,e^{-k t}.

Passo 3

Pela definição do enunciado:
f(0{,}5)=T_i + 17,\qquad f(1)=T_i.
Em termos da função, isso dá
20 + 80\,e^{-0{,}5k} = T_i + 17,
20 + 80\,e^{-k} = T_i.

Passo 4

Subtraindo as duas equações para eliminar T_i, obtemos
\bigl(20 + 80\,e^{-0{,}5k}\bigr) - \bigl(20 + 80\,e^{-k}\bigr) = 17 \quad\Longrightarrow\quad 80\bigl(e^{-0{,}5k}-e^{-k}\bigr)=17,
e^{-0{,}5k}-e^{-k} = \frac{17}{80}.

Passo 5

Faça x=e^{-0{,}5k}. Então e^{-k}=x^2 e a equação vira
x - x^2 = \frac{17}{80} \quad\Longrightarrow\quad x^2 - x + \frac{17}{80}=0.
As raízes são
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4\cdot\frac{17}{80}}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{0{,}15}}{2}.
Para k>0 escolhe-se
x = \frac{1 + \sqrt{0{,}15}}{2}\approx 0{,}694,
pois a outra raiz levaria a uma temperatura final irrealisticamente baixa.

Passo 6

Agora e^{-k}=x^2\approx(0{,}694)^2\approx0{,}481. Substituindo em f(1)=T_i:
T_i = 20 + 80\,e^{-k} = 20 + 80\,x^2 \approx 20 + 80\cdot0{,}481 \approx 58{,}5.

Resposta

A temperatura ideal para beber é aproximadamente 58{,}5^\circ\mathrm{C}.

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