Resolva as desigualdades.
(x^{2}+6 x \leq 0)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação de segundo grau
x^2 + 6x <= 0
O conteúdo aqui é análise de sinal de polinômio: vamos fatorar a expressão e estudar onde ela é negativa ou zero.

Passo 2

Fatoramos o polinômio em evidenciando x:
x^2 + 6x = x ,(x + 6)
Logo a inequação vira
x ,(x + 6) <= 0

Passo 3

Os pontos críticos (raízes) são x = 0 e x = -6. Esses valores anulam o produto. Para saber onde o produto é negativo ou zero, analisamos os intervalos determinados por -6 e 0:
  • Em x < -6: x é negativo e x+6 também é negativo, então x(x+6)>0.
  • Em -6 < x < 0: x é negativo e x+6 é positivo, então x(x+6)<0.
  • Em x > 0: ambos os fatores são positivos, logo x(x+6)>0.
Incluímos os pontos onde o produto é zero, pois a desigualdade é “ <=”.

Passo 4

A solução da inequação é o conjunto de x em que x(x+6) é negativo ou zero, ou seja
x in [-6,,0]

Resposta

[-6,0]

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