Resolva a equação raiz[3]x-1+raiz[3]x-2=raiz[3]2 x-3, em R.

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação
raiz[3]x-1 + raiz[3]x-2 = raiz[3]2x-3
O conteúdo aqui é manipular radicais de índice ímpar usando uma boa substituição e a propriedade de que elevar ao cubo é uma operação inversa válida.

Passo 2

Para simplificar, definimos
u = raiz[3]x-1, v = raiz[3]x-2
Então u^3 = x-1 e v^3 = x-2, e a equação original vira
u + v = raiz[3]2x-3
Repare que
u^3 + v^3 = (x-1)+(x-2)=2x-3

Passo 3

Elevamos ao cubo os dois lados de u+v=raiz[3]2x-3, aproveitando que o índice é ímpar:
(u+v)^3 = 2x-3
Ao expandir o cubo, fica
u^3 + v^3 + 3,u,v,(u+v) = 2x-3
Como já vimos que u^3+v^3=2x-3, esses termos se cancelam, sobrando
3,u,v,(u+v)=0

Passo 4

Da igualdade 3,u,v,(u+v)=0 seguem três possibilidades:
Para u=0 temos raiz[3]x-1=0, logo x=1.
Para v=0 temos raiz[3]x-2=0, logo x=2.
Para u+v=0 seguimos raiz[3]2x-3=0, dando x=tfrac32.
Substituindo cada valor na equação original confirma-se que todos funcionam sem gerar contradição.

Resposta

As soluções reais são
x = 1, x = 32, x = 2

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