Resolva as equações:
log 4(2 x^2+5 x+4)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação logarítmica
log4(2x^2+5x+4)=2.
O conteúdo da matéria é equação logarítmica, e vamos usar a definição de logaritmo para converter em forma exponencial, além de verificar o domínio do argumento do logaritmo.

Passo 2

Pela definição de logaritmo,
log4(A)=2
implica
A = 4^2 = 16
Aqui A = 2x^2+5x+4 deve ser positivo. Logo,
2x^2 + 5x + 4 = 16,
2x^2 + 5x + 4 > 0

Passo 3

A primeira equação fica
2x^2 + 5x + 4 = 16 ;Longrightarrow; 2x^2 + 5x - 12 = 0
Para resolver essa quadrática, calculamos o discriminante:
De<a = 5^2 - 4cdot2cdot(-12) = 25 + 96 = 121
Como De<a=121, as raízes são
x = -5pmraiz1212cdot2 = -5pm114
Portanto,
x1 = -5+114 = 64 = 32, x2 = -5-114 = -164 = -4

Passo 4

Verificamos a condição de domínio 2x^2+5x+4>0 para cada raiz.
Para x=tfrac32:
2l(tfrac32r)^2 + 5l(tfrac32r) + 4 = tfrac92 + tfrac152 + 4 = 12 + 4 = 16 > 0
Para x=-4:
2(-4)^2 + 5(-4) + 4 = 32 - 20 + 4 = 16 > 0
Como ambas as raízes satisfazem 2x^2+5x+4>0, são válidas.

Resposta

As soluções da equação são
x = 32 e x = -4

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