A lei de decaimento do rádium no tempo t >= 0 é dada por M(t)=C e^-k t, em que M (t) é a quantidade de rádium no tempo t; C e k são constantes positivas (e é a base do logaritmo neperiano). Se a metade da quantidade primitiva M (0) decai em 1600 anos, qual a quantidade perdida em 100 anos?

Passo 1

O enunciado apresenta a lei de decaimento exponencial
M(t)=C,e^-k t,
onde M(0)=C é a quantidade inicial de rádium e k>0 é a constante de decaimento. Sabemos que a metade de M(0) decai em 1600 anos, e queremos saber quanto se perde em 100 anos, isto é,
De<a=M(0)-M(100)

Passo 2

Usamos a condição de meia-vida:
M(1600)=C2 Longrightarrow C,e^-1600,k=C2 Longrightarrow e^-1600,k=12 Longrightarrow -1600,k=ln!l(tfrac12r)=-ln2
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k=ln21600

Passo 3

Calculamos a quantidade restante após 100 anos:
M(100) = C,e^-kcdot100 = C,expl(-100cdotln21600r) = C,expl(-ln216r) = C,2^-1/16

Passo 4

A quantidade perdida em 100 anos é
De<a = M(0)-M(100) = C - C,2^-1/16 = Cl(1 - 2^-1/16r)
Numericamente, como
2^-1/16=expl(-ln216r)approx0,9576,
temos
De<aapprox C,(1-0,9576)approx0,0424,C,
ou seja, cerca de 4,24% da quantidade inicial.

Resposta

A quantidade perdida em 100 anos é
Cl(1 - 2^-1/16r)approx0,0424,C

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