Resolva, em R, as equações:
raiz4 x+204+raizx=4-raizxraizx

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação
raiz4x+204+raizx ;=;4-raizxraizx
Para que as expressões estejam definidas precisamos de 4x+20>=0 (logo x>=-5) e de raizx real (logo x>=0). Além disso evitamos divisor zero em 4+raizx (sempre positivo para x>=0) e em raizx, o que exige xneq0. Concluímos que o domínio é x>0.

Passo 2

Para simplificar as raízes, fazemos a substituição
t = raizx, t>0
Então raiz4x+20 = raiz4t^2+20 = 2raizt^2+5 e a equação vira
2raizt^2+54+t ;=;4-tt

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por t(4+t), que é positivo, obtendo
2t,raizt^2+5 ;=;(4-t)(4+t) ;=;16 - t^2

Passo 4

Elevamos ao quadrado para eliminar a raiz:
l(2t,raizt^2+5r)^2 = (16 - t^2)^2 ;Longrightarrow; 4t^2,(t^2+5) = 256 - 32t^2 + t^4
Reorganizando,
4t^4 +20t^2 = t^4 -32t^2 +256 ;Longrightarrow; 3t^4 +52t^2 -256 =0
Fazendo u = t^2, temos
3u^2 +52u -256 =0,
cuja fórmula de Bhaskara dá
u = -52 pm raiz52^2 +4cdot3cdot2566 = -52 pm 766 ;Longrightarrow; u1 = 4, u2 = -tfrac643
Como u=t^2>=0, ficamos com t^2=4, ou seja t=2 (descartamos t=-2 pois t>0).

Passo 5

É preciso verificar que t=2 não seja extraviado pelo quadrado. No passo 3 exigimos 16-t^2>=0 para que o lado direito seja não negativo, e de fato 16-2^2=12>=0. Substituindo t=2 na equação original em t,
2raiz2^2+54+2 = 2raiz96 = 2cdot36 =1, 4-22 =1,
logo bate. Voltando a x=t^2, obtemos x=4.

Resposta

x = 4.

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