Resolva os sistemas de equações, em R times R:
l5 raizx^2-3 y-1+raizx+6 y=19 3 raizx^2-3 y-1=1+2 raizx+6 y

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema em R^2
5 raizx^2-3 y-1+raizx+6 y=19, 3 raizx^2-3 y-1=1+2 raizx+6 y
Como há raízes, precisamos garantir o domínio
x^2-3y-1>=0, x+6y>=0
e faremos a técnica de substituição para tornar o sistema linear em duas variáveis auxiliares.

Passo 2

Definimos
A = raizx^2-3y-1, B = raizx+6y
Então o sistema original vira
5A + B = 19, 3A = 1 + 2B

Passo 3

Resolvendo o sistema linear em
Da segunda equação . Substituindo na primeira:
e daí

Passo 4

Voltando às definições de A,B, temos
raizx^2-3y-1 = 3 ;Longrightarrow; x^2 - 3y - 1 = 9 ;Longrightarrow; x^2 - 3y = 10,
raizx+6y = 4 ;Longrightarrow; x + 6y = 16

Passo 5

Do sistema
x^2 - 3y = 10, x + 6y = 16,
da segunda equação y = (16 - x)/6. Substituindo na primeira:
x^2 - 316 - x6 = 10 ;Longrightarrow; x^2 - 48 - 3x6 = 10 ;Longrightarrow; 6x^2 - (48 - 3x) = 60 ;Longrightarrow; 6x^2 + 3x -108 = 0 ;Longrightarrow; 2x^2 + x - 36 = 0
O discriminante é De<a = 1 + 288 = 289, então
x = -1 pm 174 ;Longrightarrow; x = 4 ou x = -tfrac92
Para cada x, y = (16 - x)/6
(x,y) = (4,2) ou l(-tfrac92,,tfrac4112r)
Ambos satisfazem x^2-3y-1=9>=0 e x+6y=16>=0.

Resposta

(4,2) e l(-tfrac92,,tfrac4112r)

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