Sabendo que a e b são números reais e positivos, resolva as equações:
raiza+x+raiza-xraiza+x-raiza-x=raizb

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação
raiza+x+raiza-xraiza+x-raiza-x=raizb,
onde a e b são números reais e positivos. O conteúdo da matéria envolve equações com radicais: vamos analisar o domínio, isolar termos, racionalizar e finalmente elevar ao quadrado para encontrar x.

Passo 2

Determinar o domínio de definição e sinais:
  1. Em cada radical raizapm x é necessário apm x>=0, ou seja
-,a <= x <= a
  1. O denominador raiza+x-raiza-x não pode ser zero, logo
raiza+xneq raiza-xLongrightarrow xneq 0
  1. Como o lado direito raizb é positivo, o lado esquerdo também deve ser positivo, o que exige
raiza+x-raiza-x>0Longrightarrow x>0
Combinando, temos
0 < x <= a

Passo 3

Multiplicar ambos os lados pelo denominador e reorganizar os termos:
raiza+x+raiza-x = raizb,l(raiza+x-raiza-xr)
Levar os termos com raiza+x a um lado e os com raiza-x ao outro:
raiza+x,(raizb-1) = raiza-x,(raizb+1)

Passo 4

Elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar radicais:
(a+x),(raizb-1)^2 = (a-x),(raizb+1)^2
Como
(raizbpm1)^2=b+1pm2raizb,
expandindo e coletando, obtemos
2x,(b+1)=4araizb Longrightarrow x = 2araizbb+1

Passo 5

Verificar se a solução respeita 0<x<= a:
2raizbb+1<=1 Long<=ftrightarrow (raizb-1)^2>=0,
sempre verdadeiro. Logo a solução está no domínio permitido.

Resposta

x = 2araizbb+1

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