Resolva, em R, as equações:
raiz1+x+x^2+raiz1-x+x^2=4

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação envolvendo radicais
raiz1+x+x^2 ;+;raiz1-x+x^2 ;=;4
O conteúdo principal aqui é manipular raízes quadradas e usar o processo de isolar uma raiz, elevar ao quadrado duas vezes e resolver a equação resultante.

Passo 2

Antes de tudo, observamos o domínio. As expressões
,1+x+x^2 e ,1-x+x^2 têm discriminante negativo (-3), logo são sempre positivas para todo xinR. Portanto não há restrição de domínio: a equação vale para todo xinR.

Passo 3

Chamando
A = 1 + x + x^2, B = 1 - x + x^2,
temos raizA + raizB = 4. Elevamos ambos os lados ao quadrado:
(raizA + raizB)^2 = 4^2 ;Longrightarrow; A + B + 2raizAB = 16
Como A+B = (1+x+x^2)+(1-x+x^2)=2x^2+2, fica
2x^2 + 2 ;+; 2raiz(1+x+x^2)(1-x+x^2) ;=;16

Passo 4

Isolamos a raiz remanescente:
2raiz(1+x+x^2)(1-x+x^2) =16 - (2x^2+2) =14 - 2x^2 ;Longrightarrow; raiz(1+x+x^2)(1-x+x^2) = 7 - x^2
Para que o lado direito seja não negativo, precisamos de 7 - x^2>=0, ou seja -raiz7<= x<=raiz7. Em seguida elevamos de novo ao quadrado:
(1+x+x^2)(1-x+x^2) = (7 - x^2)^2

Passo 5

Expandindo os dois lados:
1 + x^2 + x^2 + x^4 - x^2 + x^2 ;=; 49 -14x^2 + x^4 Longrightarrow x^4 + x^2 + 1 = x^4 -14x^2 + 49
Cancelamos x^4 e agrupamos:
x^2 + 1 = -14x^2 + 49 ;Longrightarrow; 15x^2 = 48 ;Longrightarrow; x^2 = 4815 = 165 ;Longrightarrow; x = pm4raiz5

Passo 6

Verificamos que x^2=tfrac165 está dentro de [-7,7] e que, ao substituir x=pm4/raiz5 na equação original, obtemos realmente
raiz1+x+x^2+raiz1-x+x^2=4. Logo não há raízes extranhas.

Resposta

x = 4raiz5 ou x = -4raiz5,
que também podem ser escritas como pm4raiz55.

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