Resolva, em R, as equações:
raiz[3]x+1-raiz[3]x-1=raiz[3]x^2-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em R, a equação com raízes cúbicas
raiz[3]x+1-raiz[3]x-1=raiz[3]x^2-1
O conteúdo principal é manipular expressões do tipo raiz[3]cdot usando a identidade
(a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)
Para isso, vamos definir
a=raiz[3]x+1, b=raiz[3]x-1, d=a-b=raiz[3]x^2-1,
e usar a relação entre a^3-b^3 e a-b.

Passo 2

Como a^3=x+1 e b^3=x-1, temos
a^3-b^3=(x+1)-(x-1)=2
Além disso a-b=d. Aplicando a identidade de cubo da diferença,
d^3=(a-b)^3=a^3-b^3-3ab,(a-b)=2-3ab,d
Mas ab=raiz[3](x+1)(x-1)=raiz[3]x^2-1=d. Logo
d^3=2-3d^2 Longrightarrow d^3+3d^2-2=0

Passo 3

Substituímos d=raiz[3]x^2-1 em d^3=x^2-1, obtendo da última igualdade
x^2-1+3d^2-2=0 Longrightarrow x^2-3+3d^2=0 Longrightarrow 3d^2=3-x^2
Como d^2=(x^2-1)^2/3, temos
3,(x^2-1)^2/3=3-x^2

Passo 4

Elevamos ambos os lados ao cubo para eliminar a potência 2/3:
l[3,(x^2-1)^2/3r]^3=(3-x^2)^3 Longrightarrow 27,(x^2-1)^2=(3-x^2)^3
Fazendo a troca y=x^2, a equação vira
27,(y-1)^2=(3-y)^3

Passo 5

Para resolver
27,(y-1)^2=(3-y)^3,
escrevemos t=y-1, logo 3-y=2-t. A equação passa a ser
27,t^2=(2-t)^3 Longrightarrow t^3+21t^2+12t-8=0
Testando t=-1 achamos uma raiz, e dividindo polinômio por (t+1) obtemos as outras duas raízes
t=-1, t=-10+6raiz3, t=-10-6raiz3

Passo 6

Voltando a y, temos y=t+1. Assim
  1. Se t=-1 então y=0 e x=0, que não satisfaz a equação original (confere-se facilmente).
  2. Se t=-10+6raiz3 então
y=t+1=-9+6raiz3>0 Longrightarrow x=pmraiz-9+6raiz3
  1. Se t=-10-6raiz3 então y<0 e não gera xinR.
Portanto os únicos x reais que funcionam são
x=pmraiz6raiz3-9

Resposta

x=pmraiz6raiz3-9

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