Resolva, em R, as equações:
raiz2 x-3+raiz4 x+1=4

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação
raiz2x-3+raiz4x+1=4
O conteúdo principal aqui são equações com radicais: precisamos primeiro garantir o domínio onde as raízes fazem sentido, depois isolar e quadrar cuidadosamente para eliminar os radicais, sempre verificando extranos após cada quadratura.

Passo 2

Analisando o domínio, cada radicando deve ser não negativo:
2x-3 >= 0 implies x>= tfrac32,
4x+1 >= 0 implies x>= -tfrac14
Para ambos valerem, precisamos de
x>= tfrac32

Passo 3

Partindo da equação original
raiz2x-3+raiz4x+1=4,
quadramos ambos os lados:
l(raiz2x-3+raiz4x+1r)^2 = 16
que desenvolve para
(2x-3)+(4x+1)+2raiz(2x-3)(4x+1) = 16
ou seja
6x -2 +2raiz(2x-3)(4x+1)=16
e então
2raiz(2x-3)(4x+1) = 18 -6x
raiz(2x-3)(4x+1) = 9 -3x

Passo 4

Para que a equação acima faça sentido, precisamos ter
9-3x >= 0 implies x<= 3
Combinando com o domínio do passo 2, chegamos a
tfrac32 <= x<= 3

Passo 5

Agora quadramos de novo
(2x-3)(4x+1) = (9-3x)^2
No lado esquerdo:
(2x-3)(4x+1)=8x^2 -10x -3
No direito:
(9-3x)^2 = 81 -54x +9x^2
Igualando e reorganizando:
8x^2 -10x -3 = 9x^2 -54x +81
0 = x^2 -44x +84
x = 44 pm raiz44^2 -4cdot842 = 44 pm raiz16002 = 44 pm 402
Isso dá duas raízes:
x=42 ou x=2

Passo 6

Das soluções obtidas, apenas x=2 está no intervalo tfrac32<= x<= 3. Substituindo em
raiz2x-3+raiz4x+1
vemos que
raiz2cdot2-3+raiz4cdot2+1=1+3=4,
confirmando que x=2 satisfaz a equação original. A outra raiz x=42 é extrana pois viola x<=3.

Resposta

A única solução em R é
x=2

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