Resolva, em R, a equação:
raizx-2+raizx-7=raizx+5+raizx-10

Solução

& raizx-2+raizx-7=raizx+5+raizx-10 Rightarrow & Rightarrow(raizx-2+raizx-7)^2=(raizx+5+raizx-10)^2 Rightarrow & Rightarrow x-2+x-7+2 raizx^2-9 x+14=x+5+x-10+2 raizx^2-5 x-50 Rightarrow & Rightarrow 2 raizx^2-9 x+14=4+2 raizx^2-5 x-50 Rightarrow & Rightarrow raizx^2-9 x+14=2+raizx^2-5 x-50 Rightarrow & Rightarrow 60-4 x=4 raizx^2-5 x-50 Rightarrow 15-x=raizx^2-5 x-50 Rightarrow & Rightarrow 225-30 x+x^2=x^2-5 x-50 Rightarrow-25 x=-275 Rightarrow x=11
x=11 é solução, pois
raiz11-2+raiz11-7=raiz11+5+raiz11-10
S=11

Passo 1

O enunciado nos dá a equação radical
raizx-2 + raizx-7 = raizx+5 + raizx-10,
com xinR. Para que todas as raízes estejam definidas, precisamos de
x-2>=0, x-7>=0, x+5>=0, x-10>=0
ou seja
x>=10
Este problema será resolvido por sucessivas quadraturas de ambos os lados da igualdade.

Passo 2

Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar parte das raízes:
(raizx-2+raizx-7)^2 = (raizx+5+raizx-10)^2
Expandindo, obtemos
(x-2)+(x-7)+2raiz(x-2)(x-7) = (x+5)+(x-10)+2raiz(x+5)(x-10),
isto é
2x - 9 + 2raizx^2-9x+14 = 2x - 5 + 2raizx^2-5x-50

Passo 3

Subtraindo 2x-9 de ambos os lados e dividindo por 2, isolamos um radical:
raizx^2-9x+14 = 2 + raizx^2-5x-50

Passo 4

Quadramos novamente para eliminar essa raiz isolada:
l(raizx^2-9x+14r)^2 = l(2+raizx^2-5x-50r)^2
x^2-9x+14 = 4 + 4raizx^2-5x-50 + (x^2-5x-50)
Cancelando x^2 e rearranjando, vem
-4x + 60 = 4raizx^2-5x-50 Longrightarrow 15 - x = raizx^2-5x-50

Passo 5

Elevamos uma terceira vez ao quadrado e resolvemos:
(15 - x)^2 = x^2-5x-50 Longrightarrow 225 -30x + x^2 = x^2-5x-50 Longrightarrow 25x = 275 Longrightarrow x = 11
Verificamos x=11 pertence ao domínio x>=10 e satisfaz a equação original:
raiz11-2 + raiz11-7 = 3 + 2 = 5 e raiz11+5 + raiz11-10 = 4 + 1 = 5.

Resposta

S = 11

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