Resolva, em R, as equações:
raizx+6+raizx+1=raiz7 x+4

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação
raizx+6 + raizx+1 = raiz7x+4
O conteúdo envolve equações com radicais; vamos precisar:
  1. Determinar o domínio onde todas as raízes estão definidas.
  2. Isolar radicais e elevar ao quadrado, cuidando de possíveis raízes extranhas.

Passo 2

Encontramos o domínio exigido por cada radicando:
raizx+6 e raizx+1 pedem x+1>=0, ou seja x>=-1.
raiz7x+4 pede 7x+4>=0, ou seja x>=-tfrac47.
Como -tfrac47>-1, o domínio comum é
xinl[-tfrac47,inftyr)

Passo 3

No domínio, elevamos ambos os lados ao quadrado:
l(raizx+6 + raizx+1r)^2 = l(raiz7x+4r)^2
(x+6) + (x+1) + 2raiz(x+6)(x+1) = 7x+4
2x+7 + 2raiz(x+6)(x+1) = 7x+4
Isolando o radical:
2raiz(x+6)(x+1) = 5x - 3,
logo
raiz(x+6)(x+1) = 5x-32

Passo 4

Para que o lado direito seja não negativo, exigimos
5x - 3 >= 0 Longrightarrow x>= tfrac35
Combinando com o domínio x>= -tfrac47, ficamos com
x>= tfrac35

Passo 5

Elevamos de novo ao quadrado para eliminar o radical:
(x+6)(x+1) = l(tfrac5x-32r)^2
x^2 +7x +6 = 25x^2 -30x +94
4x^2 +28x +24 = 25x^2 -30x +9
0 = 21x^2 -58x -15
Resolvendo a quadrática pelo discriminante De<a = (-58)^2 -4cdot21cdot(-15)=4624, obtemos
x = 58pm6842 ;Longrightarrow; x=3 ou x = -tfrac521approx -0,238

Passo 6

Devemos manter somente as raízes que satisfazem x>= tfrac35. Assim, descartamos x=-tfrac521 e ficamos com
x=3
Verificação rápida na equação original:
raiz3+6+raiz3+1=3+2=5 e raiz7cdot3+4=raiz25=5.

Resposta

A única solução em R é
x = 3

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