Resolva a equação 2 raiz[3]x^4-3 raiz[3]x^2-20=0 no conjunto dos reais.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, no conjunto dos reais, a equação
2raiz[3]x^4 ;-;3raiz[3]x^2-20 ;=;0
O conteúdo envolve equações com raiz cúbica; vamos usar a propriedade de que a função tmapstoraiz[3]t é bijetora em R, de modo que podemos isolar termos e elevar ambos os lados ao cubo sem introduzir raízes extranhas.

Passo 2

Definimos
A = raiz[3]x^4, B = raiz[3]x^2 - 20
A equação torna-se
2A - 3B = 0 Longrightarrow A = 32,B

Passo 3

Como raiz[3]cdot é bijetora, podemos estrais igualdades sob o cubo sem perder soluções. Elevando A = tfrac32 B ao cubo, obtemos
A^3 ;=;l(tfrac32 Br)^3 Longrightarrow x^4 = 278,(x^2 - 20)

Passo 4

Fazendo a substituição y = x^2, a equação vira um polinômio quadrático em y:
8y^2 ;-;27y ;+;540 ;=;0
O discriminante é
De<a = (-27)^2 - 4cdot8cdot540 = 729 - 17280 = -16551 < 0
Como De<a<0, não existem raízes reais para y, logo também não existem xinR que satisfaçam a equação original.

Passo 5

Concluímos que não há solução real para a equação dada.

Resposta

Não existe solução no conjunto dos números reais.

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