Resolva os sistemas de equações, em R times R:
lraizxy+raizyx=52 x+y=10

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema em RtimesR:
raizdfracxy + raizdfracyx = dfrac52, x+y = 10
O conteúdo usado será manipulação de radicais e resolução de equações algébricas.

Passo 2

Para que as expressões raiztfracxy e raiztfracyx sejam reais, precisamos de tfracxy>=0 e tfracyx>=0, o que implica x e y terem mesmo sinal. Como x+y=10>0, concluímos x>0 e y>0. Definimos
t = raizxy>0,
logo raiztfracyx = tfrac1t.

Passo 3

Substituindo na primeira equação:
t + 1t = 52
Multiplicando por 2t temos
2t^2 + 2 = 5t Longrightarrow 2t^2 - 5t + 2 = 0
Resolvendo a equação quadrática,
t = 5 pm raiz25 - 164 = 5pm34,
portanto
t = 2 ou t = 12

Passo 4

Em cada caso usamos x = t^2y e x+y=10.
  1. Para t=2: x = 4y. Então 4y+y=10 y=2 e x=8.
  2. Para t=tfrac12: x = tfrac14y. Então tfrac14y + y=10 tfrac54y=10, logo y=8 e x=2.

Resposta

(x,y) = (8,2) ou (2,8).

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