Resolva, em R, as equações:
raiz[3]4 x^2+9 x+1=x+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação
raiz[3]4x^2+9x+1 = x+1
O conteúdo principal envolve a função raiz cúbica (que é definida e bijetora em R) e a resolução de uma equação polinomial subsequente.

Passo 2

Como a função raiz[3],cdot, é definida para todos os reais e é estritamente crescente, podemos aplicar o cubo em ambos os lados da equação sem introduzir raízes extraviadas. Assim, requer-se
l(raiz[3]4x^2+9x+1r)^3 = (x+1)^3

Passo 3

Ao elevar ambos os lados ao cubo obtemos
4x^2 + 9x + 1 = (x+1)^3
Expandindo o cubo do lado direito:
(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1

Passo 4

Igualando e recolhendo tudo à esquerda:
4x^2 + 9x + 1 - l(x^3 + 3x^2 + 3x + 1r) = 0 Longrightarrow -,x^3 + (4-3)x^2 + (9-3)x + (1-1) = 0
Longrightarrow; -,x^3 + x^2 + 6x = 0 Longrightarrow x^3 - x^2 - 6x = 0
Fatorando x em evidência:
x,(x^2 - x - 6) = 0 Longrightarrow x,(x-3)(x+2) = 0
Logo, os candidatos são
x = 0, x = 3, x = -2

Passo 5

Verificamos cada solução na equação original:
– Para x=0: raiz[3]1 = 1 = 0+1. OK.
– Para x=3: 4cdot9+27+1=64, raiz[3]64=4=3+1. OK.
– Para x=-2: 4cdot4-18+1=-1, raiz[3]-1=-1=-2+1. OK.

Resposta

As soluções em R são
x = -2, x = 0, x = 3

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