Resolva, em R+, a equação:
x^raizx=raizx^x

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R+ a equação
x^raizx = raizx^x
O conteúdo aqui envolve propriedades de potências e logaritmos para expoentes. Vamos usar a definição de raiz quadrada de uma potência e depois, quando xneq1, aplicar logaritmo para comparar expoentes.

Passo 2

Reescrevemos o lado direito usando
raizx^x = l(x^xr)^tfrac12 = x^tfracx2
Assim a equação vira
x^raizx = x^tfracx2

Passo 3

Se x=1, o lado esquerdo é 1^raiz1=1 e o direito é raiz1^1=1. Logo
x=1
é solução.

Passo 4

Se xneq1, então ln(x)neq0 e podemos aplicar logaritmo natural em ambos os lados:
ln(x^raizx) = lnl(x^tfracx2r) Longrightarrow raizx,ln(x) = x2,ln(x)
Dividindo por ln(x) (não zero) dá
raizx = x2

Passo 5

Fazendo t=raizx com t>0, temos
t = t^22 Longrightarrow 2t = t^2 Longrightarrow t(t-2)=0
Como t>0, descartamos t=0 e ficamos com t=2. Então
raizx=2 Longrightarrow x=4

Resposta

As soluções em R+ são
x=1 e x=4

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