Julgue os seguintes itens:
Se a e b são números reais positivos, então:
b^4-a^2(b-raiza)=b^3+a^12 b+a b+a^32

Passo 1

Temos que verificar se, para a>0 e b>0, vale a igualdade
b^4-a^2,b-raiza, ;=; b^3+a^12b+a b+a^32
O conteúdo principal aqui é a fatoração de diferença de potências, em particular a diferença de quartos potências.

Passo 2

Para usar a fatoração, note que a^2=(raiza)^4. Definimos
c = raiza,
de modo que
b^4 - a^2 = b^4 - c^4
A fórmula da diferença de quartos potências é
b^4 - c^4 = (b - c)l(b^3 + b^2c + bc^2 + c^3r)

Passo 3

Dividindo ambos os lados de b^4 - c^4 = (b - c)(cdots) por (b - c), obtemos
b^4 - c^4,b - c, = b^3 + b^2c + b c^2 + c^3
Voltando a c=raiza, isso dá
b^4 - a^2,b - raiza, = b^3 + b^2raiza + b,a + a^32

Passo 4

A expressão correta é
b^3 + b^2raiza + a b + a^32,
enquanto o enunciado propõe
b^3 + a^12b + a b + a^32
Note que b^2raizaneq braiza quando bneq1. Logo, as duas expressões não coincidem em geral.

Resposta

Falso.

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