Verifique se existem números reais x tais que 2-x=raizx^2-12. Justifique a resposta.

Passo 1

Resumindo, queremos achar todos os xinR tais que
2 - x = raizx^2 - 12
O conteúdo principal aqui é a equação envolvendo raiz quadrada: primeiro avaliamos o domínio e as condições de sinal, depois isolamos a raiz e elevamos ao quadrado, tomando cuidado com soluções extranhas.

Passo 2

Para que raizx^2-12 seja real, é preciso
x^2-12 >= 0 Longrightarrow |x|>= raiz12=2raiz3
Além disso, como raizx^2-12>=0, a igualdade 2-x=raizx^2-12 exige
2-x>=0 Longrightarrow x<=2
Combinando as duas condições, o domínio de possíveis soluções é
xmid |x|>=2raiz3,cap,xmid x<=2 = (-infty,-2raiz3]

Passo 3

Dentro desse domínio, elevamos ambos os lados ao quadrado:
(2-x)^2 = x^2 -12
Expandindo e simplificando,
4 - 4x + x^2 = x^2 - 12 Longrightarrow -4x = -16 Longrightarrow x = 4

Passo 4

Porém x=4 não pertence ao domínio x<=2: de fato 2-4=-2 é negativo, enquanto raiz4^2-12=2 é não negativo, logo a igualdade não se mantém. Isso mostra que a única solução da equação quadrática é extranha ao problema original.

Resposta

Não existem números reais que satisfaçam 2 - x = raizx^2 - 12.

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